与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} k(k+n)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+n) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + nk)$

次に、和の性質を使って、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + nk) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} nk$

ここで、$n$は$k$についての和において定数なので、

$\sum_{k=1}^{n} nk = n \sum_{k=1}^{n} k$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} nk = \sum_{k=1}^{n} k^2 + n \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + n \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n^2(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n^2(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+3n)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$