$(\sqrt{-3} + 1)^2$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$(\sqrt{-3} + 1)^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-3}$ を $i$ を用いて表します。$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$ となります。

したがって、$(\sqrt{-3} + 1)^2 = (\sqrt{3}i + 1)^2$ となります。

次に、$(\sqrt{3}i + 1)^2$ を展開します。

$(\sqrt{3}i + 1)^2 = (\sqrt{3}i)^2 + 2(\sqrt{3}i)(1) + 1^2$

$= 3i^2 + 2\sqrt{3}i + 1$

$i^2 = -1$ なので、$3i^2 = -3$ となります。

したがって、

$(\sqrt{3}i + 1)^2 = -3 + 2\sqrt{3}i + 1 = -2 + 2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$-2 + 2\sqrt{3}i$