$\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(9) $a$ と $b$ の値をそれぞれ求め、(10) $b^2 + 5b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(9) $a$ と $b$ の値をそれぞれ求め、(10) $b^2 + 5b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(9) まず、$\frac{2}{7-3\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

分子と分母に $7+3\sqrt{5}$ を掛ける。

$\frac{2}{7-3\sqrt{5}} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{(7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{7^2 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7+3\sqrt{5})}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

次に、$\sqrt{5}$ の近似値を考える。$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ である。より詳しく、$2.2^2 = 4.84$ であり、$2.3^2 = 5.29$ なので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ である。

したがって、$3\sqrt{5}$ は $3 \times 2.2 = 6.6$ と $3 \times 2.3 = 6.9$ の間にある。

$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ は $\frac{7+6.6}{2} = \frac{13.6}{2} = 6.8$ と $\frac{7+6.9}{2} = \frac{13.9}{2} = 6.95$ の間にある。

したがって、$\frac{7+3\sqrt{5}}{2}$ の整数部分は 6 であり、$a = 6$。

小数部分 $b$ は、$\frac{7+3\sqrt{5}}{2} - a = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} - 6 = \frac{7+3\sqrt{5} - 12}{2} = \frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

(10) $b^2 + 5b$ の値を求める。

$b^2 + 5b = b(b+5) = \frac{3\sqrt{5}-5}{2}(\frac{3\sqrt{5}-5}{2} + 5) = \frac{3\sqrt{5}-5}{2} \cdot \frac{3\sqrt{5}-5+10}{2} = \frac{3\sqrt{5}-5}{2} \cdot \frac{3\sqrt{5}+5}{2} = \frac{(3\sqrt{5})^2 - 5^2}{4} = \frac{45-25}{4} = \frac{20}{4} = 5$

3. 最終的な答え

(9) $a = 6$, $b = \frac{3\sqrt{5} - 5}{2}$

(10) $b^2 + 5b = 5$