加法定理を用いて、以下の等式を証明します。 (1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ (2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ (3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

はい、承知いたしました。加法定理を用いて以下の等式を証明します。

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の等式を証明します。

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ の証明

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ (加法定理) において、$y = x$ とすると、

$\cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ の証明

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ (加法定理) において、$y = x$ とすると、

$\sin(x+x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ の証明

(1) の結果 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用する。

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ であるから、

$\cos 2x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1$

したがって、

$2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ の証明

(1) の結果 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用する。

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ であるから、

$\cos 2x = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$

したがって、

$2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$

(2) $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

(3) $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

(4) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$