与えられた式 $108^{5\sqrt{72}} - (\frac{2}{5})^{log_{10/23}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $108^{5\sqrt{72}} - (\frac{2}{5})^{log_{10/23}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$5\sqrt{72}$を簡略化します。

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$なので、$5\sqrt{72} = 5 \times 6\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$ となります。

次に、$108^{30\sqrt{2}}$ を計算します。ここでは、$108 = 2^2 \times 3^3$ であることを利用します。

次に、$(\frac{2}{5})^{-log_{2/5} 3}$ を計算します。ここで、$a^{log_a x} = x$ という性質を利用します。

まず、$log_{2/5} 3$の底を$2/5$から$5/2$に変換します。

$log_{2/5} 3 = -log_{5/2} 3$ なので、$(\frac{2}{5})^{-log_{2/5} 3} = (\frac{2}{5})^{log_{5/2} 3}$ となります。

与えられた式は、

$108^{30\sqrt{2}} - (\frac{2}{5})^{-log_{2/5} 3}$

まず、$5\sqrt{72}$を計算すると、$5\sqrt{72} = 5\sqrt{36 \times 2} = 5 \times 6\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

よって、$108^{30\sqrt{2}} = (2^2 \cdot 3^3)^{30\sqrt{2}}$

$(\frac{2}{5})^{-log_{2/5} 3} = (\frac{2}{5})^{log_{5/2} 3} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{log_{5/2} 3} = (\frac{5}{2})^{-log_{5/2} 3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

したがって、$108^{30\sqrt{2}} - (\frac{2}{5})^{-log_{2/5} 3} = 108^{30\sqrt{2}} - \frac{1}{3}$

問題文が間違っている可能性があるので確認します。

もし、$(\frac{2}{5})^{log_{2/5}3}$ なら、

$(\frac{2}{5})^{-log_{2/5}3} = (\frac{2}{5})^{log_{5/2}3} = (\frac{5}{2})^{-log_{5/2}3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

$(\frac{2}{5})^{-log_{2/5}3} = (\frac{2}{5})^{log_{5/2}3} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{log_{5/2}3} = (\frac{5}{2})^{-log_{5/2}3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

最後に、与えられた問題の再検討を行います。

与えられた式は $108^{5\sqrt{72}} - (\frac{2}{5})^{log_{2/5}3}$ でした。

$5\sqrt{72} = 30\sqrt{2}$

$(\frac{2}{5})^{-log_{2/5}3} = 3$

したがって、$108^{30\sqrt{2}} - 3$

3. 最終的な答え

$108^{30\sqrt{2}} - 3$