与えられた数式の値を計算します。数式は $4 \log \sqrt{150} - \log 54 + \log 24$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $4 \log \sqrt{150} - \log 54 + \log 24$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$\sqrt{150}$ を計算し、$150 = 25 \cdot 6 = 5^2 \cdot 6$ より、$\sqrt{150} = 5\sqrt{6}$です。

$4 \log \sqrt{150} = 4 \log (5 \sqrt{6})$

対数の性質 $n \log_a x = \log_a x^n$ および $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ を利用します。

$4 \log (5\sqrt{6}) = \log (5\sqrt{6})^4 = \log (5^4 (\sqrt{6})^4) = \log (625 \cdot 36) = \log (22500)$

よって、元の式は

$\log 22500 - \log 54 + \log 24$

となります。

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ および $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$ を利用して式を整理します。

$\log 22500 - \log 54 + \log 24 = \log \frac{22500}{54} + \log 24 = \log (\frac{22500}{54} \cdot 24) = \log (\frac{22500 \cdot 24}{54})$

$\frac{22500 \cdot 24}{54} = \frac{22500 \cdot 4}{9} = 2500 \cdot 4 = 10000$

したがって、

$\log (\frac{22500 \cdot 24}{54}) = \log 10000$

常用対数であることを仮定すると、$\log 10000 = \log 10^4 = 4$

3. 最終的な答え

4