ある高校の生徒に果物の好みについてアンケートを取った。ア: なしが好きな人の中にりんごを好きな人がいる。イ: なしが好きな人は必ずももが好きである。ウ: りんごが好きな人は必ずみかんが好きである。このとき、確実に言えることは次のうちどれか。選択肢は以下の通りです。 1. りんごが好きな人は必ずももが好きである。

離散数学集合論理条件推論

2025/6/29

1. 問題の内容

ある高校の生徒に果物の好みについてアンケートを取った。

ア: なしが好きな人の中にりんごを好きな人がいる。

イ: なしが好きな人は必ずももが好きである。

ウ: りんごが好きな人は必ずみかんが好きである。

このとき、確実に言えることは次のうちどれか。

選択肢は以下の通りです。

それぞれの選択肢について、与えられた条件から確実に言えるかどうか検討します。

* 選択肢1: りんごが好きな人は必ずももが好きである。

条件ウより、りんごが好きな人は必ずみかんが好きです。しかし、みかんが好きな人が必ずももが好きであるとは限りません。したがって、この選択肢は間違いです。

* 選択肢2: みかんが好きな人は必ずももが好きである。

与えられた条件からは、みかんが好きな人が必ずももが好きであるとは言えません。したがって、この選択肢は間違いです。

* 選択肢3: みかんとなしが両方好きな人がいる。

条件アより、なしが好きな人の中にりんごが好きな人がいます。

条件イより、なしが好きな人は必ずももが好きです。

条件ウより、りんごが好きな人は必ずみかんが好きです。

したがって、なしが好きで、かつりんごが好きな人が存在し、その人は必ずももとみかんが好きです。したがって、みかんとなしが両方好きな人がいることは言えません。

しかし、なしが好きでない人もいる可能性があり、その人は条件ア、イに縛られません。したがって、みかんとなしが両方好きな人がいるかどうかはわかりません。したがって、この選択肢は間違いです。

* 選択肢4: もももみかんも好きでない人はいない。

条件ア、イ、ウからは全体集合の要素がもももみかんも好きでないことを否定できません。条件を組み合わせても、もも、みかんのいずれか、または両方が好きな人が必ずいるとは言えません。

* 選択肢5: みかんが好きで、なしが好きでない人はいない。

条件ア、イ、ウから確実にこの条件が言えるかを検討します。

条件イより、なしが好きならば、ももが好きです。

条件ウより、りんごが好きならば、みかんが好きです。

条件アより、なしが好きでりんごが好きな人がいます。

つまり、なしが好きでりんごが好きな人は、なしが好き、ももが好き、りんごが好き、みかんが好き、となります。

これは全体集合の一部しか示していません。

背理法を用いて、もももみかんも好きでない人がいる、と仮定します。

このとき、条件イから、なしが好きであることはありません。なぜなら、なしが好きであれば必ずももが好きになるからです。

したがって、なしが好きでない人はいる可能性があります。

したがって、みかんが好きでなしが好きでない人がいる可能性もあります。

選択肢3について再検討します。

条件アより、なしが好きな人の中にりんごが好きな人がいます。

条件ウより、りんごが好きな人は必ずみかんが好きです。

したがって、なしが好きで、かつみかんが好きな人が少なくとも1人います。

したがって、みかんとなしが両方好きな人がいる、という結論が導き出せます。