次の式を計算しなさい。 $\frac{1}{2} \log 48 + \log \sqrt{2}$

1. 問題の内容

次の式を計算しなさい。

$\frac{1}{2} \log 48 + \log \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

まず、$\log$ の性質を利用して式を整理します。

$\frac{1}{2} \log 48 = \log 48^{\frac{1}{2}} = \log \sqrt{48}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

したがって、$\frac{1}{2} \log 48 = \log 4\sqrt{3}$

元の式は、$\log 4\sqrt{3} + \log \sqrt{2}$となります。

次に、$\log$ の和を積の形にまとめます。

$\log 4\sqrt{3} + \log \sqrt{2} = \log (4\sqrt{3} \times \sqrt{2}) = \log (4\sqrt{6})$

$4\sqrt{6} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{96}$

$\log 4\sqrt{6} = \log \sqrt{96} = \log 96^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log 96$

$96 = 32 \times 3 = 2^5 \times 3$

元の式は、

$\frac{1}{2} \log 48 + \log \sqrt{2} = \log 4\sqrt{3} + \log \sqrt{2} = \log(4\sqrt{6})$

これ以上簡単にできるかは、対数の底に依存します。

底が10である常用対数であると仮定すると、$\log(4\sqrt{6})$ が最終的な答えになります。底が2である対数だと仮定すると、

$\log_2 (4\sqrt{6}) = \log_2(2^2 \cdot 6^{1/2}) = \log_2 2^2 + \log_2 6^{1/2} = 2 + \frac{1}{2} \log_2 6 = 2 + \frac{1}{2} \log_2 (2 \cdot 3) = 2 + \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 3) = 2 + \frac{1}{2} (1 + \log_2 3) = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \log_2 3$

と表すことができます。

3. 最終的な答え

$\log (4\sqrt{6})$