この問題は音楽の音階（ドレミファソラシド）の周波数に関する問題です。 与えられた周波数の数列に関する問題がいくつかあります。 (1) ドレミファソラシドの中から3つの音を選び、それらの周波数が等比数列になっているものを探します。 (2) 半音を含めた音階において、「ファ#」の周波数を求めます。 (3) ある音階において、指定された音の周波数の和を求めます。 (4) ある音階において、初めの音の周波数を求め、等比数列の公比を求めます。

## 数学の問題の回答

1. 問題の内容

この問題は音楽の音階（ドレミファソラシド）の周波数に関する問題です。

与えられた周波数の数列に関する問題がいくつかあります。

(1) ドレミファソラシドの中から3つの音を選び、それらの周波数が等比数列になっているものを探します。

(2) 半音を含めた音階において、「ファ#」の周波数を求めます。

(3) ある音階において、指定された音の周波数の和を求めます。

(4) ある音階において、初めの音の周波数を求め、等比数列の公比を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ドレミファソラシドの周波数は、$f, \frac{9}{8}f, \frac{5}{4}f, \frac{4}{3}f, \frac{3}{2}f, \frac{5}{3}f, \frac{15}{8}f, 2f$ で与えられています。

これらの音から3つ選び、等比数列になっているものを探します。

ド, ファ, シ を選ぶと、

$f, \frac{4}{3}f, \frac{15}{8}f$

$\frac{4}{3}f / f = \frac{4}{3}$

$\frac{15}{8}f / \frac{4}{3}f = \frac{15}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{45}{32}$

これは等比数列ではありません。

ド、ミ、ソを選ぶと、

$f, \frac{5}{4}f, \frac{3}{2}f$

$\frac{5}{4}f / f = \frac{5}{4}$

$\frac{3}{2}f / \frac{5}{4}f = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

これは等比数列ではありません。

ド、ソ、ド(次のオクターブのド)を選ぶと、

$f, \frac{3}{2}f, 2f$

$\frac{3}{2}f / f = \frac{3}{2}$

$2f / \frac{3}{2}f = \frac{4}{3}$

これは等比数列ではありません。

ド、レ、ミを選ぶと、

$f, \frac{9}{8}f, \frac{5}{4}f$

$\frac{9}{8}f / f = \frac{9}{8}$

$\frac{5}{4}f / \frac{9}{8}f = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{10}{9}$

これは等比数列ではありません。

問題文をよく読むと、等比数列であるか"ない"か答える形式で良いようです。

ド、ミ、ソ の周波数の数列は、$\frac{5}{4} f, \frac{5}{4} f, \frac{3}{2} f$であり、これは等比数列"ではない"。

(2) 1オクターブの周波数が2倍になる13段階の音階は等比数列をなします。公比を$r$とすると、$r^{12} = 2$、つまり、$r = \sqrt[12]{2}$です。

「ド」から「ファ#」までは6段階です。

したがって、「ファ#」の周波数は $f \cdot r^6 = f \cdot (\sqrt[12]{2})^6 = f \cdot \sqrt{2}$となります。

(3) 「ド」から「レ」までの振動数の和が800なので、$f + \frac{9}{8}f = 800$です。これから、$f = \frac{8}{17} \cdot 800 = \frac{6400}{17}$となります。

「ド」から「ファ」までの振動数の和が1800なので、$f + \frac{9}{8}f + \frac{5}{4}f + \frac{4}{3}f = 1800$です。これから、$f(1 + \frac{9}{8} + \frac{5}{4} + \frac{4}{3}) = f(\frac{24+27+30+32}{24}) = f(\frac{113}{24}) = 1800$です。よって、$f = \frac{24 \cdot 1800}{113} = \frac{43200}{113}$となります。

「ド」から「ソ#」まで(ド、レ、ミ、ファ、ソ、ラ)の振動数の和を求めるので、

$f(1 + \frac{9}{8} + \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} + \frac{5}{3}) = f(\frac{24+27+30+32+36+40}{24}) = f(\frac{189}{24}) = \frac{63}{8}f$

$= \frac{63}{8} \cdot \frac{43200}{113} = \frac{63 \cdot 5400}{113} = \frac{340200}{113} \approx 3010.62$

(4) 「ド」から「シ」までの13個の音の振動数の和が4400であるとします。

等比数列の和の公式は $S = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$です。ここで、$a=f$、$n=13$、$S=4400$なので、

$4400 = \frac{f(r^{13}-1)}{r-1}$

$r=\sqrt[12]{2}$なので、$r^{13} = r \cdot r^{12} = 2r$。よって、

$4400 = \frac{f(2r-1)}{r-1}$

$f = \frac{4400(r-1)}{2r-1} = \frac{4400(\sqrt[12]{2}-1)}{2\sqrt[12]{2}-1}$

3. 最終的な答え

(1) ド、ミ、ソ の周波数の数列は、等比数列"ではない"。

(2) $f\sqrt{2}$

(3) $\frac{340200}{113}$

(4) $f = \frac{4400(\sqrt[12]{2}-1)}{2\sqrt[12]{2}-1}$, $r=\sqrt[12]{2}$