$\sin \frac{7}{24}\pi$, $\sin \frac{7}{12}\pi$, $\sin \frac{5}{6}\pi$, $\sin \frac{4}{3}\pi$ の大小を不等号を用いて表す。

1. 問題の内容

$\sin \frac{7}{24}\pi$, $\sin \frac{7}{12}\pi$, $\sin \frac{5}{6}\pi$, $\sin \frac{4}{3}\pi$ の大小を不等号を用いて表す。

2. 解き方の手順

$\sin x$ は、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ で増加関数であり、$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ で減少関数である。また、$\sin (\pi - x) = \sin x$である。

与えられた値を比較しやすいように、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲に変換する。

$\sin \frac{7}{24}\pi$ はそのまま。

$\sin \frac{7}{12}\pi = \sin (\pi - \frac{7}{12}\pi) = \sin \frac{5}{12}\pi$

$\sin \frac{5}{6}\pi = \sin (\pi - \frac{5}{6}\pi) = \sin \frac{1}{6}\pi$

$\sin \frac{4}{3}\pi = \sin (\pi + \frac{1}{3}\pi) = -\sin \frac{1}{3}\pi$

したがって、$\sin \frac{7}{24}\pi$, $\sin \frac{5}{12}\pi$, $\sin \frac{1}{6}\pi$, $-\sin \frac{1}{3}\pi$ の大小を比較する。

$\frac{1}{6}\pi = \frac{4}{24}\pi$, $\frac{7}{24}\pi$, $\frac{5}{12}\pi = \frac{10}{24}\pi$ より、$\frac{1}{6}\pi < \frac{7}{24}\pi < \frac{5}{12}\pi$。

したがって、$\sin \frac{1}{6}\pi < \sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{5}{12}\pi$。

また、$0 < \frac{1}{3}\pi < \frac{\pi}{2}$ より、$-\sin \frac{1}{3}\pi < 0$。

よって、$\sin \frac{4}{3}\pi < \sin \frac{5}{6}\pi < \sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{7}{12}\pi$。

3. 最終的な答え

$\sin \frac{4}{3}\pi < \sin \frac{5}{6}\pi < \sin \frac{7}{24}\pi < \sin \frac{7}{12}\pi$