関数 $y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x+1)}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x+1)}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

商の微分公式を用いる。すなわち、

$$y = \frac{u}{v}$$

のとき

$$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

である。ここで、

$u = \log(x^2 + x)$

$v = \log(x+1)$

とおく。

まず、$u$を微分する。対数関数の微分公式と合成関数の微分公式より、

$$u' = \frac{d}{dx}\log(x^2 + x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{2x + 1}{x(x+1)}$$

次に、$v$を微分する。同様に、

$$v' = \frac{d}{dx}\log(x+1) = \frac{1}{x+1}$$

したがって、

$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)}\log(x+1) - \log(x^2+x)\frac{1}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$$

$y' = \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)}\log(x+1) - \frac{\log(x(x+1))}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{\frac{(2x+1)\log(x+1)}{x(x+1)} - \frac{\log(x(x+1))}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{\frac{(2x+1)\log(x+1) - x \log(x(x+1))}{x(x+1)}}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{(2x+1)\log(x+1) - x \log(x(x+1))}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)\log(x+1) - x \log(x^2+x)}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$