関数 $y = xe^{x^2}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{x^2}$ を微分する。

2. 解き方の手順

この関数は、積の形をしているので、積の微分公式を使う。積の微分公式は、$(uv)' = u'v + uv'$ である。

$u = x$ と $v = e^{x^2}$ とおくと、

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(e^{x^2})$ は合成関数の微分であるから、指数関数の微分公式と連鎖律を使う。

$w = x^2$ とおくと、$v = e^w$ となる。

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \frac{dw}{dx} = \frac{d}{dw}(e^w) \frac{d}{dx}(x^2) = e^w (2x) = e^{x^2}(2x) = 2xe^{x^2}$

したがって、$v' = 2xe^{x^2}$

積の微分公式に代入すると、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (1)(e^{x^2}) + (x)(2xe^{x^2}) = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2} = e^{x^2}(1 + 2x^2)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{x^2}(1 + 2x^2)$