$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ が与えられているとき、関数 $y = (x^2 + 1)^{a^x}$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ かつ $a \neq 1$ を満たす定数 $a$ が与えられているとき、関数 $y = (x^2 + 1)^{a^x}$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln ((x^2 + 1)^{a^x})$

$\ln y = a^x \ln (x^2 + 1)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分を使って計算します。右辺は積の微分を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [a^x \ln (x^2 + 1)]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(a^x) \cdot \ln (x^2 + 1) + a^x \cdot \frac{d}{dx} (\ln (x^2 + 1))$

ここで、$a^x$ の微分は $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ であり、$\ln (x^2 + 1)$ の微分は、合成関数の微分を使って $\frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a^x \ln a \cdot \ln (x^2 + 1) + a^x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left[ a^x \ln a \cdot \ln (x^2 + 1) + \frac{2x a^x}{x^2 + 1} \right]$

$y = (x^2 + 1)^{a^x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{a^x} \left[ a^x \ln a \cdot \ln (x^2 + 1) + \frac{2x a^x}{x^2 + 1} \right]$

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{a^x} a^x \left[ \ln a \ln (x^2 + 1) + \frac{2x}{x^2 + 1} \right]$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{a^x} a^x \left[ \ln a \ln (x^2 + 1) + \frac{2x}{x^2 + 1} \right]$