関数 $y = (e^x - e^{-x})^2$ を微分し、$dy/dx$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = (e^x - e^{-x})^2$ を微分し、$dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$を展開します。

$y = (e^x - e^{-x})^2 = (e^x)^2 - 2e^x e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}$

次に、$y$を$x$について微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) - \frac{d}{dx}(2) + \frac{d}{dx}(e^{-2x})$

ここで、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使います。

$\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

同様に、

$\frac{d}{dx}e^{-2x} = e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(-2x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$

定数の微分は0なので、$\frac{d}{dx}(2) = 0$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - 0 - 2e^{-2x} = 2e^{2x} - 2e^{-2x}$

$2$でくくって、

$\frac{dy}{dx} = 2(e^{2x} - e^{-2x})$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - 2e^{-2x}$