関数 $y = \log \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ を $0 < x < \pi$ の範囲で微分する。ここで $\log$ は自然対数を表すものとします。

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ を $0 < x < \pi$ の範囲で微分する。ここで $\log$ は自然対数を表すものとします。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を対数の性質を使って変形します。

$y = \log (1 - \cos x) - \log (1 + \cos x)$

次に、$y$ を $x$ で微分します。合成関数の微分法を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - \cos x} \cdot \frac{d}{dx}(1 - \cos x) - \frac{1}{1 + \cos x} \cdot \frac{d}{dx}(1 + \cos x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{1 - \cos x} - \frac{-\sin x}{1 + \cos x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{1 - \cos x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x (1 + \cos x) + \sin x (1 - \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x + \sin x \cos x + \sin x - \sin x \cos x}{1 - \cos^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin x}{1 - \cos^2 x}$

ここで、$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin x}{\sin^2 x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin x}$

$\frac{dy}{dx} = 2 \csc x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin x} = 2 \csc x$