次の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$ (2) $\lim_{x\to-\infty} 2^{-2x}$ (3) $\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$

(2) $\lim_{x\to-\infty} 2^{-2x}$

(3) $\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}}$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to \infty$ のとき、$-3x \to -\infty$ なので、$2^{-3x} \to 0$ となります。

(2)

$x \to -\infty$ のとき、$-2x \to \infty$ なので、$2^{-2x} \to \infty$ となります。

(3)

まず、$\frac{4x-1}{x+2}$ の極限を考えます。

$$\lim_{x\to\infty} \frac{4x-1}{x+2} = \lim_{x\to\infty} \frac{4 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{4-0}{1+0} = 4$$

よって、

$$\lim_{x\to\infty} \log_2{\frac{4x-1}{x+2}} = \log_2{4} = \log_2{2^2} = 2$$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) 2