パスカルの三角形に関連する数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解く。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を組合せの記号 $C$ と自然数 $n$ を使って表す。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を求める。 (3) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ を求める。 (4) 初項が 1 の数列 $\{b_n\}$ は、階差数列 $\{a_{n+1}\}$ をもつ。初項が 1 の数列 $\{c_n\}$ は、階差数列 $\{b_{n+1}\}$ をもつ。数列 $\{c_n\}$ の一般項を自然数 $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

パスカルの三角形に関連する数列 $\{a_n\}$ について、以下の問題を解く。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を組合せの記号 $C$ と自然数 $n$ を使って表す。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ を求める。

(3) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$ を求める。

(4) 初項が 1 の数列 $\{b_n\}$ は、階差数列 $\{a_{n+1}\}$ をもつ。初項が 1 の数列 $\{c_n\}$ は、階差数列 $\{b_{n+1}\}$ をもつ。数列 $\{c_n\}$ の一般項を自然数 $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ は、4段目の左端の「1」から、5段目の左から2番目の「4」の方向にまっすぐ引いた直線上の数列である。これは、3, 6, 10, 15, ... である。これは、パスカルの三角形における組合せの記号で表すと、$a_n = {}_nC_2$ となる。ただし、$n \ge 2$ である。$a_1$ は定義されていないため、$a_n={}_{n+1}C_2$ としたほうが数列の規則に沿う可能性が高い。

$n \ge 1$ として $a_n = {}_{n+2}C_2$　とおくと、$a_1 = {}_3C_2 = 3$, $a_2 = {}_4C_2 = 6$, $a_3 = {}_5C_2 = 10$, $a_4 = {}_6C_2 = 15$となる。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n {}_{k+2}C_2$ を求める。

${}_{k+2}C_2 = \frac{(k+2)(k+1)}{2} = \frac{k^2 + 3k + 2}{2}$

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k^2 + 3k + 2}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (k^2 + 3k + 2) = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^n k^2 + 3\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 2)$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 2 = 2n$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n) = \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 12n}{6}) = \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 12n}{12}$

$S_n = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 + 12)}{12} = \frac{n(2n^2 + 12n + 22)}{12} = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{6}$

(3) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{{}_{k+2}C_2} = \sum_{k=1}^n \frac{2}{(k+2)(k+1)} = 2 \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}) = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}) = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+2}) = 1 - \frac{2}{n+2} = \frac{n}{n+2}$

(4) $b_1 = 1$, $a_{n+1} = b_{n+1} - b_n$, $c_1 = 1$, $b_{n+1} = c_{n+1} - c_n$

$a_n = {}_{n+1}C_2 = \frac{(n+1)n}{2} = \frac{n^2+n}{2}$

$b_{n+1} = b_n + a_{n+1}$, $b_1=1$ なので、$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}$

$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)^2+(k+1)}{2} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + 3k + 2) = 1 + \frac{1}{2}(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{3(n-1)n}{2} + 2(n-1))$

$c_{n+1} = c_n + b_{n+1}$

$c_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_{k+1} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (1 + \sum_{i=1}^{k} a_{i+1})$

$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}$. $c_{n+1} - c_n = b_{n+1}$ なので、$c_n = 1+\sum_{i=1}^{n-1} b_{i+1}$ となる。

$b_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(k+1)(k+2)}{2} = 1 + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} (k^2+3k+2) = 1+\frac{1}{2} (\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+3\frac{(n-1)n}{2}+2(n-1))=1+\frac{1}{12}(2n^3+9n^2+13n-24)$.

$c_n = 1+\sum_{i=1}^{n-1} (1+\frac{k(k+1)(k+2)}{6})$

$c_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k+1}$

$c_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1} (1 + \frac{(k+1)k}{2}) = 1+\sum_{k=1}^{n-1}(1+\frac{1}{2}k^2+\frac{1}{2}k) =1+\sum_{k=1}^{n-1} 1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}k^2+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}k$.

$c_n = 1 + (n-1)+\frac{1}{2}(\frac{(n-1)n(2n-1)}{6})+\frac{1}{2}(\frac{(n-1)n}{2})=(n)+\frac{(n-1)n(2n-1)}{12}+\frac{(n-1)n}{4}=\frac{(n-1)n(2n-1)+3(n-1)n+12n}{12}=\frac{2n^3+3n^2+n-3n^2-3n-n^3-n^2/6-1n}{1}$

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k^2 + k }{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = {}_{n+2}C_2$

(2) $S_n = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{6}$

(3) $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \frac{n}{n+2}$

(4) $c_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k+1}$

$b_n=1+\frac{1}{12}(2n^3+9n^2+13n-24)$.

数列 $\\{ c_n\\}$の一般項を求めましょう。

$c_n=\frac{ (n+1) (n+2) (n+3) }{6}$