問題文はパスカルの三角形に関する数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を組合せの記号Cと自然数 $n$ を使って表す。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。 (3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。 (4) 初項が1の数列 $\{b_n\}$ は、階差数列 $\{a_{n+1}\}$ を持つ。初項が1の数列 $\{c_n\}$ は、階差数列 $\{b_{n+1}\}$ を持つ。数列 $\{c_n\}$ の一般項を自然数 $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

問題文はパスカルの三角形に関する数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答えるものです。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を組合せの記号Cと自然数 $n$ を使って表す。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を求める。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。

(4) 初項が1の数列 $\{b_n\}$ は、階差数列 $\{a_{n+1}\}$ を持つ。初項が1の数列 $\{c_n\}$ は、階差数列 $\{b_{n+1}\}$ を持つ。数列 $\{c_n\}$ の一般項を自然数 $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項について

問題文の図から、数列 $\{a_n\}$ はパスカルの三角形の斜めの列に現れる数です。

$a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_3 = 10$, $a_4 = 20, \dots$ となります。

これらの数は、パスカルの三角形の構成要素である二項係数を用いて表現できます。

一般に、$a_n = {}^{n+1}C_2 = \frac{(n+1)n}{2}$ と表せます。

これは、${}^{n+1}C_2$は、パスカルの三角形における左から2番目の斜めの列のn番目の要素に対応しているためです。

別の表現として、${}^{n+1}C_{n-1} = {}^{n+1}C_2$ であるため、$a_n = {}^{n+1}C_{n-1}$と表すこともできます。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ について

$S_n = \sum_{k=1}^{n} {}^{k+1}C_2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(k+1)k}{2} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} (k^2+k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ であるから、

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} \right) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

これは、${}^{n+2}C_3$ に等しいです。

(3) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ について

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{{}^{k+1}C_2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = 2\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$= 2\left( (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right) = 2\left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 2\left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{2n}{n+1}$

(4) 数列 $\{c_n\}$ の一般項について

数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $\{a_{n+1}\}$ であるので、$b_{n+1} - b_n = a_{n+1} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

また、$b_1 = 1$ より、 $b_{n} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(k+2)(k+1)}{2}$

$= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} {}^{k+2}C_2 = 1 + {}^{n+1}C_3 = 1 + \frac{(n+1)n(n-1)}{6} = \frac{6 + (n+1)n(n-1)}{6}$

$\frac{6+n^3-n}{6} = \frac{n^3-n+6}{6}$

数列 $\{c_n\}$ の階差数列が $\{b_{n+1}\}$ であるので、$c_{n+1} - c_n = b_{n+1}$

また、$c_1 = 1$ より、$c_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_{k+1} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{(k+1)^3 - (k+1) + 6}{6}) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^3+3k^2+2k+6}{6} = 1 + \frac{\sum_{k=1}^{n-1}k^3 +3\sum_{k=1}^{n-1}k^2 +2\sum_{k=1}^{n-1}k + 6(n-1)}{6}$

$= 1 + \frac{(\frac{(n-1)n}{2})^2 + 3\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2\frac{(n-1)n}{2}+6(n-1)}{6}$

$= 1 + \frac{\frac{n^2(n-1)^2}{4} + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + (n-1)n + 6(n-1)}{6} = 1 + \frac{n-1}{24}(n^3 -n^2 + 4n^2 -2n +4n + 24) = 1 + \frac{n-1}{24}(n^3 +3n^2+2n+24)= \frac{24+(n-1)(n^3+3n^2+2n+24)}{24} = \frac{n^4+2n^3-n^2-22n+0}{24}$

$= \frac{n^4+2n^3-n^2-22n+24}{24} = \frac{(n-1)(n^3+3n^2+2n-24)+24}{24}=\frac{n^4-n}{24}$

最終的な答え

(1) $a_n = {}^{n+1}C_2 = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

(3) $S_n = \frac{2n}{n+1}$

(4) $c_n = \frac{n^4 + 2n^3 - n^2 - 22n +24}{24}$