問題1では、与えられた3つのベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ が一次独立か一次従属かを判定します。 問題2では、これらの3つのベクトルによって生成されるベクトル空間 $V$ の次元 $\dim V$ を求めます。

1. 問題の内容

問題1では、与えられた3つのベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ が一次独立か一次従属かを判定します。

問題2では、これらの3つのベクトルによって生成されるベクトル空間 $V$ の次元 $\dim V$ を求めます。

2. 解き方の手順

問題1:

3つのベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ が一次独立であるとは、

$c_1\vec{a_1} + c_2\vec{a_2} + c_3\vec{a_3} = \vec{0}$ を満たすスカラー $c_1, c_2, c_3$ が $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみであることです。

そうでない場合、つまり少なくとも1つが0でない $c_1, c_2, c_3$ が存在する場合、これらのベクトルは一次従属です。

与えられたベクトルで、

$c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これを成分ごとに書くと、

$2c_1 + 3c_2 = 0$

$c_1 + 4c_2 + 5c_3 = 0$

$7c_2 + 6c_3 = 0$

3番目の式から、$c_3 = -\frac{7}{6}c_2$

これを2番目の式に代入すると、$c_1 + 4c_2 + 5(-\frac{7}{6}c_2) = 0$ なので、$c_1 + 4c_2 - \frac{35}{6}c_2 = 0$

$c_1 = (\frac{35}{6} - \frac{24}{6})c_2 = \frac{11}{6}c_2$

これを1番目の式に代入すると、$2(\frac{11}{6}c_2) + 3c_2 = 0$ なので、$\frac{11}{3}c_2 + 3c_2 = 0$

$\frac{11}{3}c_2 + \frac{9}{3}c_2 = \frac{20}{3}c_2 = 0$ よって $c_2 = 0$

$c_2 = 0$ を代入すると $c_1 = 0$ と $c_3 = 0$ が得られます。

したがって、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ のみが解なので、$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ は一次独立です。

問題2:

$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ は一次独立なので、$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ は3次元ベクトル空間 $V$ の基底をなします。したがって、ベクトル空間 $V$ の次元は3です。

3. 最終的な答え

問題1: 1次独立

問題2: 3