複数の数学の問題が記載されています。 (5) 2個のAとCがA,C,Aの順に並ぶ並び方は何通りあるか。 (12) 重複組合せに関する問題。(1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。(2) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。(3) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。 (11) MATICUARTの9文字を1列に並べる問題。(1) この並べ方は何通りあるか。(2) AとAが隣り合うような並べ方は何通りあるか。(3) AとAが隣り合い、かつ、TとTも隣り合うような並べ方は何通りあるか。(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

複数の数学の問題が記載されています。

(5) 2個のAとCがA,C,Aの順に並ぶ並び方は何通りあるか。

(12) 重複組合せに関する問題。(1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。(2) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。(3) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ は全部で何組あるか。

(11) MATICUARTの9文字を1列に並べる問題。(1) この並べ方は何通りあるか。(2) AとAが隣り合うような並べ方は何通りあるか。(3) AとAが隣り合い、かつ、TとTも隣り合うような並べ方は何通りあるか。(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(5) ACAという並び方を決めて、残りの文字の並び方を考えます。

残りの文字は、M, T, I, U, R, T です。

求める並び方は7文字の並び方になります。

ただしTが2つあるので、同じものを含む順列として考えます。

よって、$\frac{7!}{2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ 通り。

(12)(1) $1 \le x, y, z \le 5$ なので、各変数は5通りの値を取りうる。したがって、組の総数は $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$ 組。

(12)(2) $1 \le x \le y \le z \le 5$ の場合、これは重複組合せの問題と考えることができます。

$x' = x - 1, y' = y - x, z' = z - y, w' = 5 - z$ とおくと、 $x', y', z', w' \ge 0$ であり、

$x' + y' + z' + w' = (x-1) + (y-x) + (z-y) + (5-z) = 5 - 1 = 4$.

よって、非負整数の組 $(x', y', z', w')$ の数は ${4 + 4 - 1 \choose 4 - 1} = {7 \choose 3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(12)(3) これは $x + y + z = 5$ の非負整数解の組の数を求める問題なので、

${5 + 3 - 1 \choose 3 - 1} = {7 \choose 2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

(12)(4) $x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1$ なので、 $x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とおくと、$x', y', z' \ge 0$。

$x' + y' + z' = (x - 1) + (y - 1) + (z - 1) = x + y + z - 3 = 5 - 3 = 2$。

これは $x' + y' + z' = 2$ の非負整数解の組の数を求める問題なので、

${2 + 3 - 1 \choose 3 - 1} = {4 \choose 2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

(11)(1) 9文字のうち、M, A, T, I, C, U, A, R, T を並べる。

Aが2つ、Tが2つあるので、$\frac{9!}{2!2!} = \frac{362880}{4} = 90720$ 通り。

(11)(2) AとAが隣り合うので、AAを1つの文字とみなして8文字を並べる。

ただしTが2つあるので、$\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$ 通り。

(11)(3) AAとTTをそれぞれ1つの文字とみなして7文字を並べる。

したがって、$7! = 5040$ 通り。

(11)(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方。

9文字を並べる。M, C, RをX, X, Xに置き換える。

$\frac{9!}{2! 2! 3!} = 15120$

置き換えたX, X, Xは、M, C, Rと一意に対応するので、この並び方が答えになります。

9! / (2! * 2! * 3!) = 362880/(4*6) = 362880/24 = 15120

3. 最終的な答え

(5) 2520通り

(12)(1) 125組

(12)(2) 35組

(12)(3) 21組

(12)(4) 6組

(11)(1) 90720通り

(11)(2) 20160通り

(11)(3) 5040通り

(11)(4) 15120通り