4種類の文字 $a, b, c, d$ から重複を許して7個選ぶ組み合わせの総数を求めよ。

## 問題9

1. 問題の内容

4種類の文字 $a, b, c, d$ から重複を許して7個選ぶ組み合わせの総数を求めよ。

2. 解き方の手順

これは重複組み合わせの問題です。$n$ 種類の物から重複を許して $r$ 個選ぶ組み合わせの総数は、$_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題では、$n = 4$ (文字の種類数) で $r = 7$ (選ぶ個数) なので、

求める組み合わせの総数は、

$_{4+7-1}C_7 = _{10}C_7$

$_{10}C_7$ を計算すると、

$_{10}C_7 = \frac{10!}{7! (10-7)!} = \frac{10!}{7! 3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

3. 最終的な答え

120

## 問題10

1. 問題の内容

等式 $x + y + z = 10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

これも重複組み合わせの問題として考えることができます。

10個の同じものを3つのグループ（$x, y, z$ に対応）に分ける方法の数を求めることと同じです。これは、10個の丸と2本の仕切りを並べる方法の数と考えることができます。例えば、〇〇|〇〇〇|〇〇〇〇〇は $x=2, y=3, z=5$ に対応します。

したがって、$n = 3$ (変数の数) で $r = 10$ (和) なので、

求める組み合わせの総数は、

$_{n+r-1}C_r = _{3+10-1}C_{10} = _{12}C_{10}$

$_{12}C_{10}$ を計算すると、

$_{12}C_{10} = \frac{12!}{10! (12-10)!} = \frac{12!}{10! 2!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$

3. 最終的な答え

66