問題は順列、円順列、重複順列に関する4つの小問からなります。 (45) (1) 5人の中から3人を選んで一列に並べる方法の数を求めます。 (2) 男子4人、女子2人が一列に並ぶとき、両端に男子がくる並び方と、女子2人が隣り合う並び方をそれぞれ求めます。 (46) 色の異なる6個の玉を円形に並べる方法の数を求めます。 (47) (1) 3種類の文字a, b, cから、重複を許して4つの文字を選び一列に並べる方法の数を求めます。 (2) 0, 1, 2, 3の4種類の数字から重複を許して4つの数字を選び4桁の整数を作る方法の数を求めます。

1. 問題の内容

問題は順列、円順列、重複順列に関する4つの小問からなります。

(45)

(1) 5人の中から3人を選んで一列に並べる方法の数を求めます。

(2) 男子4人、女子2人が一列に並ぶとき、両端に男子がくる並び方と、女子2人が隣り合う並び方をそれぞれ求めます。

(46)

色の異なる6個の玉を円形に並べる方法の数を求めます。

(47)

(1) 3種類の文字a, b, cから、重複を許して4つの文字を選び一列に並べる方法の数を求めます。

(2) 0, 1, 2, 3の4種類の数字から重複を許して4つの数字を選び4桁の整数を作る方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(45)

(1) 順列の公式を使います。5人から3人を選んで並べるので、$_5P_3$を計算します。

$_5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) 両端に男子が来る場合：まず、両端に並べる男子を4人から2人選び、並べ方は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通り。

残りの4人（男子2人、女子2人）を並べる方法は$4! = 24$通り。

したがって、両端に男子が来る並び方は $12 \times 24 = 288$通り。

女子2人が隣り合う場合：女子2人をまとめて1人と考えると、全体で5人（男子4人、女子2人のグループ1人）を並べることになります。並べ方は$5! = 120$通り。

女子2人の並び方は$2! = 2$通り。

したがって、女子2人が隣り合う並び方は$120 \times 2 = 240$通り。

(46)

円順列の公式を使います。異なるn個のものを円形に並べる方法は$(n-1)!$通り。

したがって、6個の玉を円形に並べる方法は$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り。

(47)

(1) 重複順列の公式を使います。n種類の文字から重複を許してr個選んで並べる方法は$n^r$通り。

したがって、3種類の文字から重複を許して4つ選んで並べる方法は$3^4 = 81$通り。

(2) 4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字（1, 2, 3）のいずれかを選ぶことができます。

千の位の選び方は3通り。

百の位、十の位、一の位はそれぞれ0, 1, 2, 3の4つの数字から選ぶことができるので、それぞれ4通り。

したがって、4桁の整数を作る方法は$3 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192$通り。

3. 最終的な答え

(45) (1) 60通り

(45) (2) 両端に男子がくる並び方: 288通り、女子2人が隣り合う並び方: 240通り

(46) 120通り

(47) (1) 81通り

(47) (2) 192個