問題は順列、円順列、重複順列に関する4つの小問からなります。 (45) (1) 5人の中から3人を選んで一列に並べる方法の数を求めます。 (2) 男子4人、女子2人が一列に並ぶとき、両端に男子がくる並び方と、女子2人が隣り合う並び方をそれぞれ求めます。 (46) 色の異なる6個の玉を円形に並べる方法の数を求めます。 (47) (1) 3種類の文字a, b, cから、重複を許して4つの文字を選び一列に並べる方法の数を求めます。 (2) 0, 1, 2, 3の4種類の数字から重複を許して4つの数字を選び4桁の整数を作る方法の数を求めます。

離散数学順列円順列重複順列場合の数組み合わせ
2025/7/2

1. 問題の内容

問題は順列、円順列、重複順列に関する4つの小問からなります。
(45)
(1) 5人の中から3人を選んで一列に並べる方法の数を求めます。
(2) 男子4人、女子2人が一列に並ぶとき、両端に男子がくる並び方と、女子2人が隣り合う並び方をそれぞれ求めます。
(46)
色の異なる6個の玉を円形に並べる方法の数を求めます。
(47)
(1) 3種類の文字a, b, cから、重複を許して4つの文字を選び一列に並べる方法の数を求めます。
(2) 0, 1, 2, 3の4種類の数字から重複を許して4つの数字を選び4桁の整数を作る方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(45)
(1) 順列の公式を使います。5人から3人を選んで並べるので、5P3_5P_3を計算します。
5P3=5!(53)!=5!2!=5×4×3=60_5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60
(2) 両端に男子が来る場合:まず、両端に並べる男子を4人から2人選び、並べ方は 4P2=4×3=12_4P_2 = 4 \times 3 = 12通り。
残りの4人(男子2人、女子2人)を並べる方法は4!=244! = 24通り。
したがって、両端に男子が来る並び方は 12×24=28812 \times 24 = 288通り。
女子2人が隣り合う場合:女子2人をまとめて1人と考えると、全体で5人(男子4人、女子2人のグループ1人)を並べることになります。並べ方は5!=1205! = 120通り。
女子2人の並び方は2!=22! = 2通り。
したがって、女子2人が隣り合う並び方は120×2=240120 \times 2 = 240通り。
(46)
円順列の公式を使います。異なるn個のものを円形に並べる方法は(n1)!(n-1)!通り。
したがって、6個の玉を円形に並べる方法は(61)!=5!=5×4×3×2×1=120(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120通り。
(47)
(1) 重複順列の公式を使います。n種類の文字から重複を許してr個選んで並べる方法はnrn^r通り。
したがって、3種類の文字から重複を許して4つ選んで並べる方法は34=813^4 = 81通り。
(2) 4桁の整数を作る場合、千の位には0以外の数字(1, 2, 3)のいずれかを選ぶことができます。
千の位の選び方は3通り。
百の位、十の位、一の位はそれぞれ0, 1, 2, 3の4つの数字から選ぶことができるので、それぞれ4通り。
したがって、4桁の整数を作る方法は3×4×4×4=3×43=3×64=1923 \times 4 \times 4 \times 4 = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192通り。

3. 最終的な答え

(45) (1) 60通り
(45) (2) 両端に男子がくる並び方: 288通り、女子2人が隣り合う並び方: 240通り
(46) 120通り
(47) (1) 81通り
(47) (2) 192個

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