図のA, B, C, D, Eの5つの四角形を、隣り合う四角形には異なる色を塗り、同じ色を何回使ってもよいという条件で、指定された色数ですべての四角形を塗る方法の数を求める問題です。 (1) 5色の場合 (2) 4色の場合

1. 問題の内容

図のA, B, C, D, Eの5つの四角形を、隣り合う四角形には異なる色を塗り、同じ色を何回使ってもよいという条件で、指定された色数ですべての四角形を塗る方法の数を求める問題です。

(1) 5色の場合

(2) 4色の場合

2. 解き方の手順

(1) 5色の場合

5つの四角形に5色すべてを使って塗る方法を考えます。

まず、Aの塗り方は5通りあります。

次に、BはAと異なる色を塗るので、4通りあります。

CはBと異なる色を塗るので、4通りあります。

DはAと異なる色を塗るので、4通りあります。

EはBとDと異なる色を塗るので、3通りあります。

したがって、塗り方の総数は、

$5 \times 4 \times 4 \times 4 \times 3 = 960$通りです。

(2) 4色の場合

まず、Aの塗り方は4通りあります。

次に、BはAと異なる色を塗るので、3通りあります。

CはBと異なる色を塗るので、3通りあります。

DはAと異なる色を塗るので、3通りあります。

EはBとDと異なる色を塗ります。ここで場合分けが必要です。

i) BとDの色が同じ場合

EはB (つまりD) と異なる色を塗るので、3通りあります。

この場合、塗り方は$4 \times 3 \times 3 \times 1 \times 3 = 108$通りです。

ii) BとDの色が異なる場合

EはBとDと異なる色を塗るので、2通りあります。

BとDの色が異なるようなA, B, Dの塗り方は$4 \times 3 \times 2 = 24$通りです。

この場合、塗り方は$4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 144$通りです。

したがって、塗り方の総数は、

$4 \times 3 \times 3 \times (1 \times 3 + 2 \times 2) = 4 \times 3 \times 3 \times (3 + 4) = 4 \times 3 \times 3 \times 7 = 252$通りです。

あるいは、

DはAと異なるので3通り、BはAと異なるので3通り。CはBと異なるので3通り。

A->4

B->3

C->3

D->3

ここで、Eの場合を考える。EはBとDと異なる。

(a) BとDが同じ色のとき、Eは4-1=3色の選択肢がある

(b) BとDが異なる色のとき、Eは4-2=2色の選択肢がある

i) BとDが同じ色の場合

A->4通り

B->3通り

C->3通り

D->1通り（Bと同じ）

E->3通り

4*3*3*1*3 = 108通り

ii) BとDが異なる色の場合

A->4通り

B->3通り

C->3通り

D->2通り（A,Bと異なる）

E->2通り

4*3*3*2*2 = 144通り

合計: 108+144=252通り

3. 最終的な答え

(1) 5色の場合: 960通り

(2) 4色の場合: 252通り