$S = \frac{1}{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{45} + \sqrt{49}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$S = \frac{1}{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{45} + \sqrt{49}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{1 + \sqrt{5}} = \frac{1 - \sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})} = \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - 5} = \frac{1 - \sqrt{5}}{-4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{9}}{(\sqrt{5} + \sqrt{9})(\sqrt{5} - \sqrt{9})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{9}}{5 - 9} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{9}}{-4} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{5}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{13}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{13}}{(\sqrt{9} + \sqrt{13})(\sqrt{9} - \sqrt{13})} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{13}}{9 - 13} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{13}}{-4} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{9}}{4}$

以下同様に、最後の項は

$\frac{1}{\sqrt{45} + \sqrt{49}} = \frac{\sqrt{45} - \sqrt{49}}{(\sqrt{45} + \sqrt{49})(\sqrt{45} - \sqrt{49})} = \frac{\sqrt{45} - \sqrt{49}}{45 - 49} = \frac{\sqrt{45} - \sqrt{49}}{-4} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{45}}{4}$

したがって、

$S = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} + \frac{\sqrt{9} - \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{9}}{4} + \dots + \frac{\sqrt{49} - \sqrt{45}}{4}$

$S = \frac{1}{4} [(\sqrt{5} - 1) + (\sqrt{9} - \sqrt{5}) + (\sqrt{13} - \sqrt{9}) + \dots + (\sqrt{49} - \sqrt{45})]$

これはtelescoping sum（望遠鏡和）の形になっているので、中間項は相殺されて、最初と最後の項だけが残ります。

$S = \frac{1}{4} (\sqrt{49} - 1) = \frac{1}{4}(7 - 1) = \frac{1}{4}(6) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$