与えられた7つの関数をそれぞれ微分する問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた7つの関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^2(3x)$

合成関数の微分を行います。

$y' = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$

(2) $y = 2\sin x \cos x (1 - 2\sin^2 x)$

これは三角関数の公式を用いて簡単にできます。

$2\sin x \cos x = \sin 2x$

$1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$

したがって、$y = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$

$y' = \frac{1}{2} \cdot \cos 4x \cdot 4 = 2\cos 4x$

(3) $y = \sin^3 x \cos^3 x$

積の微分を行います。

$y' = (\sin^3 x)' \cos^3 x + \sin^3 x (\cos^3 x)' = 3\sin^2 x \cos x \cos^3 x + \sin^3 x \cdot 3\cos^2 x (-\sin x) = 3\sin^2 x \cos^4 x - 3\sin^4 x \cos^2 x = 3\sin^2 x \cos^2 x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 3\sin^2 x \cos^2 x \cos 2x = \frac{3}{4} \sin^2 2x \cos 2x$

(4) $y = (\sin x + \cos x)^2$

$y = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$

$y' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$

(5) $y = \frac{1}{\sin x} = \csc x$

$y' = -\csc x \cot x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

(6) $y = \frac{1}{\tan 2x} = \cot 2x$

$y' = -\frac{1}{\sin^2 2x} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2 2x} = -2\csc^2 2x$

(7) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

商の微分を行います。

$y' = \frac{(\sin x)' (1 + \cos x) - \sin x (1 + \cos x)'}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x (1 + \cos x) - \sin x (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3\sin(6x)$

(2) $y' = 2\cos(4x)$

(3) $y' = \frac{3}{4} \sin^2 2x \cos 2x$

(4) $y' = 2\cos(2x)$

(5) $y' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

(6) $y' = -\frac{2}{\sin^2 2x}$

(7) $y' = \frac{1}{1 + \cos x}$