A, B, Cの3種類の商品を合わせて12個買うとき、以下の条件を満たす買い方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 買わない商品があってもよい場合 (2) どの商品も少なくとも1個は買う場合

1. 問題の内容

A, B, Cの3種類の商品を合わせて12個買うとき、以下の条件を満たす買い方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 買わない商品があってもよい場合

(2) どの商品も少なくとも1個は買う場合

2. 解き方の手順

(1) 買わない商品があってもよい場合

これは重複組み合わせの問題です。A, B, Cの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、

$x + y + z = 12$

となる非負整数の組 $(x, y, z)$ の数を求めればよいです。

これは、12個の○と2本の仕切り｜を並べる方法の数と同じです。

したがって、

${}_{12+3-1}C_{3-1} = {}_{14}C_2 = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 7 \times 13 = 91$

(2) どの商品も少なくとも1個は買う場合

A, B, Cをそれぞれ少なくとも1個は買うので、まずA, B, Cを1個ずつ買っておき、残りの9個を自由に選ぶと考えます。A, B, Cの個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると、

$x + y + z = 12$

$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1$

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とおくと $x', y', z'$ は非負整数であり、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 12$

$x' + y' + z' = 9$

となる非負整数の組 $(x', y', z')$ の数を求めればよいです。

これは、9個の○と2本の仕切り｜を並べる方法の数と同じです。

したがって、

${}_{9+3-1}C_{3-1} = {}_{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 11 \times 5 = 55$

3. 最終的な答え

(1) 91通り

(2) 55通り