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不定積分 $\int (x+1)(x-3) dx$ を求めよ。

解析学不定積分積分積分計算
2025/6/29

1. 問題の内容

不定積分 ∫(x+1)(x−3)dx\int (x+1)(x-3) dx を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。
(x+1)(x−3)=x2−3x+x−3=x2−2x−3(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3
次に、この展開された式を積分します。
∫(x2−2x−3)dx=∫x2dx−2∫xdx−3∫1dx\int (x^2 - 2x - 3) dx = \int x^2 dx - 2 \int x dx - 3 \int 1 dx
それぞれの項を積分します。
∫x2dx=13x3+C1\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1
∫xdx=12x2+C2\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2
∫1dx=x+C3\int 1 dx = x + C_3
したがって、
∫(x2−2x−3)dx=13x3−2(12x2)−3x+C=13x3−x2−3x+C\int (x^2 - 2x - 3) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2(\frac{1}{2}x^2) - 3x + C = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + C
ここで、C=C1−2C2−3C3C = C_1 - 2C_2 - 3C_3 は積分定数です。

3. 最終的な答え

13x3−x2−3x+C\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + C

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