定積分 $\int_{3}^{0} (5 - \frac{4}{3}t^3) dt$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{3}^{0} (5 - \frac{4}{3}t^3) dt$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開せずにそのまま不定積分を計算します。

$\int (5 - \frac{4}{3}t^3) dt = 5t - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}t^4 + C = 5t - \frac{1}{3}t^4 + C$

次に、定積分の定義に従って、積分の上端と下端での値を計算します。

$\int_{3}^{0} (5 - \frac{4}{3}t^3) dt = [5t - \frac{1}{3}t^4]_{3}^{0} = (5(0) - \frac{1}{3}(0)^4) - (5(3) - \frac{1}{3}(3)^4)$

$= 0 - (15 - \frac{1}{3}(81)) = 0 - (15 - 27) = 0 - (-12) = 12$

3. 最終的な答え

12