与えられた式 $ \frac{1}{2} \log_4 8 + \log_4 \sqrt{2} $ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2} \log_4 8 + \log_4 \sqrt{2}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、各項を簡単にします。

$\log_4 8$ を計算するために、$4^x = 8$ となる $x$ を求めます。

$4 = 2^2$ であり、$8 = 2^3$ であるから、$(2^2)^x = 2^3$ となります。

これは $2^{2x} = 2^3$ と同値であり、$2x = 3$ より $x = \frac{3}{2}$ となります。

したがって、$\log_4 8 = \frac{3}{2}$ です。

次に、$\log_4 \sqrt{2}$ を計算します。

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ であり、$4 = 2^2$ なので、$4^x = \sqrt{2}$ つまり $(2^2)^x = 2^{\frac{1}{2}}$ となる $x$ を求めます。

これは $2^{2x} = 2^{\frac{1}{2}}$ と同値であり、$2x = \frac{1}{2}$ より $x = \frac{1}{4}$ となります。

したがって、$\log_4 \sqrt{2} = \frac{1}{4}$ です。

与えられた式にこれらの値を代入します。

$\frac{1}{2} \log_4 8 + \log_4 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{4}$

$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{4}{4}$

$= 1$

3. 最終的な答え

$1$