$k$が定数のとき、2次方程式 $x^2 - 4x + k + 5 = 0$ の実数解の個数を調べる問題です。

1. 問題の内容

$k$が定数のとき、2次方程式 $x^2 - 4x + k + 5 = 0$ の実数解の個数を調べる問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式の実数解の個数は判別式$D$を用いることで判別できます。

$D > 0$のとき実数解は2個、

$D = 0$のとき実数解は1個、

$D < 0$のとき実数解は0個です。

与えられた2次方程式 $x^2 - 4x + k + 5 = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (-4)^2 - 4(1)(k+5) = 16 - 4k - 20 = -4k - 4$

となります。

したがって、

$D > 0$ のとき、$-4k - 4 > 0$ より $k < -1$。このとき、実数解は2個。

$D = 0$ のとき、$-4k - 4 = 0$ より $k = -1$。このとき、実数解は1個。

$D < 0$ のとき、$-4k - 4 < 0$ より $k > -1$。このとき、実数解は0個。

3. 最終的な答え

$k < -1$ のとき、実数解は2個

$k = -1$ のとき、実数解は1個

$k > -1$ のとき、実数解は0個