行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

余因子行列 $\tilde{A}$ の $(i, j)$ 成分は、行列 $A$ の $(i, j)$ 余因子 $C_{ij}$ を用いて $\tilde{A}_{ij} = C_{ji}$ と表されます。つまり、余因子を並べた行列を転置したものが余因子行列です。

余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

各成分を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-2) = -1$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(0-2) = 2$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(0-1) = -1$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(2-3) = 1$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-3) = -2$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1-2) = 1$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-3) = 1$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -1(2-0) = -2$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) = 1$

したがって、余因子を並べた行列は

$\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$

これの転置行列が余因子行列 $\tilde{A}$ となります。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$