与えられた3つの数列の極限値を求めます。 (1) $\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots, \frac{n+1}{n}, \dots$ (2) $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \dots, \frac{(-1)^n}{n}, \dots$ (3) $\cos \pi, \cos 3\pi, \cos 5\pi, \dots, \cos (2n-1)\pi, \dots$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の極限値を求めます。

(1) $\frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots, \frac{n+1}{n}, \dots$

(2) $-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \dots, \frac{(-1)^n}{n}, \dots$

(3) $\cos \pi, \cos 3\pi, \cos 5\pi, \dots, \cos (2n-1)\pi, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\frac{n+1}{n}$ の極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + 0 = 1$

(2) 数列 $\frac{(-1)^n}{n}$ の極限を求めます。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であり、$\frac{-1}{n} \to 0$ です。

数列 $\frac{(-1)^n}{n}$ は、$n$ が偶数のとき正の値、奇数のとき負の値をとりますが、$n \to \infty$ で $0$ に収束します。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

(3) 数列 $\cos (2n-1)\pi$ の極限を求めます。

$n = 1, 2, 3, \dots$ に対して、$2n-1$ は常に奇数です。

したがって、$\cos (2n-1)\pi$ は常に $\cos(\text{奇数} \times \pi)$ の形を取ります。

$\cos(\pi) = -1$, $\cos(3\pi) = -1$, $\cos(5\pi) = -1$, $\dots$

つまり、$\cos (2n-1)\pi = -1$ が常に成り立ちます。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \cos (2n-1)\pi = -1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0

(3) -1