与えられた問題は、不定積分の定義、条件、および計算に関するいくつかの質問に答えることです。具体的には、 (1) 連続関数の不定積分の定義とその同値な条件を述べます。 (2) (1)の同値な条件の根拠を述べます。 (3) 関数の和と定数倍の不定積分の性質を述べます。 (4) 関数の特別な形の積の不定積分の性質を述べます。 (5) 与えられたいくつかの関数について不定積分を計算し、使用した性質を明記します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、不定積分の定義、条件、および計算に関するいくつかの質問に答えることです。具体的には、

(1) 連続関数の不定積分の定義とその同値な条件を述べます。

(2) (1)の同値な条件の根拠を述べます。

(3) 関数の和と定数倍の不定積分の性質を述べます。

(4) 関数の特別な形の積の不定積分の性質を述べます。

(5) 与えられたいくつかの関数について不定積分を計算し、使用した性質を明記します。

2. 解き方の手順

(5)の各積分について、以下のように解き方を説明します。

i) $\int \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$ の不定積分は $\ln|x| + C$ です。

ii) $\int \frac{1}{x^2} dx$

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ なので、積分は $\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ です。

iii) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ なので、積分は $\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$ です。

iv) $\int 0 dx$

$0$ の不定積分は定数 $C$ です。

v) $\int (x - 2x^2) dx$

$\int x dx - 2 \int x^2 dx = \frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} + C = \frac{x^2}{2} - \frac{2}{3}x^3 + C$ です。

vi) $\int \frac{1}{3x} dx$

$\frac{1}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x}$ なので、積分は $\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3} \ln|x| + C$ です。

vii) $\int (x^3 + 9x - 2)^3 (x^2 + 3) dx$

$u = x^3 + 9x - 2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 9 = 3(x^2 + 3)$。したがって、$\frac{1}{3} du = (x^2+3)dx$。

積分は $\int u^3 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^3 du = \frac{1}{3} \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 9x - 2)^4 + C$ です。

viii) $\int \sin(4 - 3x) dx$

$u = 4 - 3x$ とすると、$\frac{du}{dx} = -3$。したがって、$-\frac{1}{3} du = dx$。

積分は $\int \sin(u) (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int \sin(u) du = -\frac{1}{3} (-\cos(u)) + C = \frac{1}{3} \cos(4 - 3x) + C$ です。

ix) $\int \tan x dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。 $u = \cos x$ とすると、$\frac{du}{dx} = -\sin x$。したがって、$-du = \sin x dx$。

積分は $\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$ です。

x) $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ なので、積分は $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ です。

xi) $\int \frac{x}{1+x^2} dx$

$u = 1 + x^2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$。したがって、$\frac{1}{2} du = x dx$。

積分は $\int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$ です。

xii) $\int \frac{1}{1+x^2} dx$

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$ です。

xiii) $\int \sin^5 x dx$

$\int \sin^5 x dx = \int \sin^4 x \sin x dx = \int (1 - \cos^2 x)^2 \sin x dx$

$u = \cos x$ とすると、$-du = \sin x dx$。

積分は $\int (1 - u^2)^2 (-du) = -\int (1 - 2u^2 + u^4) du = -(u - \frac{2}{3}u^3 + \frac{1}{5}u^5) + C = -\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos^5 x + C$ です。

xiv) $\int \sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ なので、積分は $\int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin(2x)) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$ です。

xv) $\int \frac{1}{\sin x} dx$

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C = \ln|\tan \frac{x}{2}| + C$。

xvi) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C$。

3. 最終的な答え

i) $\ln|x| + C$

ii) $-\frac{1}{x} + C$

iii) $2\sqrt{x} + C$

iv) $C$

v) $\frac{x^2}{2} - \frac{2}{3}x^3 + C$

vi) $\frac{1}{3} \ln|x| + C$

vii) $\frac{1}{12} (x^3 + 9x - 2)^4 + C$

viii) $\frac{1}{3} \cos(4 - 3x) + C$

ix) $\ln|\sec x| + C$

x) $\tan x + C$

xi) $\frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$

xii) $\arctan x + C$

xiii) $-\cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{1}{5} \cos^5 x + C$

xiv) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

xv) $\ln|\tan \frac{x}{2}| + C$

xvi) $-\cot x + C$