与えられた問題は、不定積分に関するいくつかの問いに答えるものです。具体的には、 (1) 連続関数の不定積分の定義を述べ、同値な条件を2つ挙げる。 (2) (1)で挙げた2つの条件が同値である根拠を述べる。 (3) 関数の和と定数倍の不定積分に関する性質とその名前を述べる。 (4) 特殊な形の関数の積の不定積分に関する性質とその名前を述べる。

1. 問題の内容

与えられた問題は、不定積分に関するいくつかの問いに答えるものです。具体的には、

(1) 連続関数の不定積分の定義を述べ、同値な条件を2つ挙げる。

(2) (1)で挙げた2つの条件が同値である根拠を述べる。

(3) 関数の和と定数倍の不定積分に関する性質とその名前を述べる。

(4) 特殊な形の関数の積の不定積分に関する性質とその名前を述べる。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の定義：

関数 $f(x)$ の不定積分とは、$F'(x) = f(x)$ を満たす関数 $F(x)$ のことです。ただし、$F(x) + C$ ($C$は積分定数) もまた、$f(x)$ の不定積分になります。

同値な条件：

1. $F(x)$ が $f(x)$ の不定積分である ⇔ $F'(x) = f(x)$

2. $\int f(x) dx = F(x) + C$

(2) 条件が同値である根拠：

微分積分学の基本定理により、$F'(x) = f(x) \Leftrightarrow \int f(x) dx = F(x) + C$ が成り立つ。

(3) 関数の和・定数倍の不定積分：

性質：

$$\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$$

名前：

線形性

(4) 特殊な形の関数の積の不定積分：

性質：

$\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$

名前：

部分積分

3. 最終的な答え

(1) 連続関数 $f(x)$ の不定積分とは、$F'(x) = f(x)$ を満たす関数 $F(x)$ のことです。ただし、$C$ を積分定数とすると、$F(x) + C$ もまた、$f(x)$ の不定積分になります。

同値な条件：

1. $F(x)$ が $f(x)$ の不定積分であること。

2. $\int f(x) dx = F(x) + C$ と表せること。

(2) 微分積分学の基本定理

(3) 性質: $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$

名前: 線形性

(4) 性質: $\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$

名前: 部分積分