与えられた4つの積分を部分積分を用いて計算する問題です。 (1) $\int (x-1)e^{-x} dx$ (2) $\int (x+1) \cos x dx$ (3) $\int (2x+1) \log |x| dx$ (4) $\int x^2 \log |x| dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を部分積分を用いて計算する問題です。

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx$

(2) $\int (x+1) \cos x dx$

(3) $\int (2x+1) \log |x| dx$

(4) $\int x^2 \log |x| dx$

2. 解き方の手順

部分積分は $\int u dv = uv - \int v du$ で計算できます。

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx$

$u = x-1$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -e^{-x}$

$\int (x-1)e^{-x} dx = (x-1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx = -(x-1)e^{-x} + \int e^{-x} dx = -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C = -xe^{-x} + C$

(2) $\int (x+1) \cos x dx$

$u = x+1$, $dv = \cos x dx$ とすると、

$du = dx$, $v = \sin x$

$\int (x+1) \cos x dx = (x+1)\sin x - \int \sin x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C$

(3) $\int (2x+1) \log |x| dx$

$u = \log |x|$, $dv = (2x+1) dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2 + x$

$\int (2x+1) \log |x| dx = (x^2+x)\log |x| - \int (x^2+x)\frac{1}{x} dx = (x^2+x)\log |x| - \int (x+1) dx = (x^2+x)\log |x| - (\frac{x^2}{2}+x) + C$

(4) $\int x^2 \log |x| dx$

$u = \log |x|$, $dv = x^2 dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$

$\int x^2 \log |x| dx = \frac{x^3}{3} \log |x| - \int \frac{x^3}{3} \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log |x| - \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3}{3} \log |x| - \frac{x^3}{9} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx = -xe^{-x} + C$

(2) $\int (x+1) \cos x dx = (x+1)\sin x + \cos x + C$

(3) $\int (2x+1) \log |x| dx = (x^2+x)\log |x| - \frac{x^2}{2}-x + C$

(4) $\int x^2 \log |x| dx = \frac{x^3}{3} \log |x| - \frac{x^3}{9} + C$