以下の５つの問題があります。 * **問1**: 関数 $f(x, y) = \log(x + y)$ と $g(x, y) = x^y$ の偏導関数 $f_x, f_y, g_x, g_y$ を求めよ。 * **問2**: 関数 $f(x, y) = \arcsin(x/y)$ の2次偏導関数 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$ を求めよ。 * **問3**: $C^2$ 級の関数 $f(x, y)$ を $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ により極座標 $(r, \theta)$ に変換した関数 $z = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$ とする。 * (1) 偏導関数 $z_r, z_\theta$ を $f_x, f_y$ を用いて表せ。 * (2) 2次偏導関数 $z_{r\theta}$ を関数 $f$ の1次および2次の偏導関数を用いて表せ。 * **問4**: 関数 $f(x, y) = 2x^2 + y^2 - x - y + 10$ とする。 * (1) $f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0$ となる点 $(a, b)$ を求めよ。 * (2) $f(x, y)$ は (1) で求めた点 $(a, b)$ で、極大、極小、鞍点のいずれになるかを判定しなさい。 * **問5**: 関数 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ について、 * (1) $f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを調べよ。 * (2) 偏微分 $f_x(0, 0), f_y(0, 0)$ が存在するかを調べよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の５つの問題があります。

* **問1**: 関数 $f(x, y) = \log(x + y)$ と $g(x, y) = x^y$ の偏導関数 $f_x, f_y, g_x, g_y$ を求めよ。

* **問2**: 関数 $f(x, y) = \arcsin(x/y)$ の2次偏導関数 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$ を求めよ。

* **問3**: $C^2$ 級の関数 $f(x, y)$ を $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ により極座標 $(r, \theta)$ に変換した関数 $z = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$ とする。

* (1) 偏導関数 $z_r, z_\theta$ を $f_x, f_y$ を用いて表せ。

* (2) 2次偏導関数 $z_{r\theta}$ を関数 $f$ の1次および2次の偏導関数を用いて表せ。

* **問4**: 関数 $f(x, y) = 2x^2 + y^2 - x - y + 10$ とする。

* (1) $f_x(a, b) = 0, f_y(a, b) = 0$ となる点 $(a, b)$ を求めよ。

* (2) $f(x, y)$ は (1) で求めた点 $(a, b)$ で、極大、極小、鞍点のいずれになるかを判定しなさい。

* **問5**: 関数

$f(x, y) = \begin{cases} \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

について、

* (1) $f(x, y)$ は原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを調べよ。

* (2) 偏微分 $f_x(0, 0), f_y(0, 0)$ が存在するかを調べよ。

2. 解き方の手順

**問1**

* $f(x, y) = \log(x + y)$

$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \log(x + y) = \frac{1}{x + y}$

$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \log(x + y) = \frac{1}{x + y}$

* $g(x, y) = x^y$

$g_x = \frac{\partial}{\partial x} x^y = yx^{y - 1}$

$g_y = \frac{\partial}{\partial y} x^y = x^y \log x$

**問2**

* $f(x, y) = \arcsin(x/y)$

$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \arcsin(x/y) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/y)^2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}}$

$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \arcsin(x/y) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/y)^2}} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y\sqrt{y^2 - x^2}}$

$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}}) = \frac{\partial}{\partial x} (y^2 - x^2)^{-1/2} = (-\frac{1}{2})(y^2 - x^2)^{-3/2}( -2x) = \frac{x}{(y^2 - x^2)^{3/2}}$

$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}}) = \frac{\partial}{\partial y} (y^2 - x^2)^{-1/2} = (-\frac{1}{2})(y^2 - x^2)^{-3/2}(2y) = -\frac{y}{(y^2 - x^2)^{3/2}}$

$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{x}{y\sqrt{y^2 - x^2}}) = -\frac{1}{y} \frac{\partial}{\partial x} (x(y^2-x^2)^{-1/2}) = -\frac{1}{y} [(y^2 - x^2)^{-1/2} + x (-\frac{1}{2})(y^2 - x^2)^{-3/2}(-2x)] = -\frac{1}{y} [\frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{x^2}{(y^2 - x^2)^{3/2}}] = -\frac{y^2}{y(y^2 - x^2)^{3/2}} = - \frac{y}{(y^2 - x^2)^{3/2}}$

$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (-\frac{x}{y\sqrt{y^2 - x^2}}) = -x\frac{\partial}{\partial y} (y(y^2 - x^2)^{1/2})^{-1} = -x \frac{\partial}{\partial y} y^{-1}(y^2 - x^2)^{-1/2} = -x [(-y^{-2})(y^2 - x^2)^{-1/2} + y^{-1}(-\frac{1}{2})(y^2 - x^2)^{-3/2}(2y)] = x[y^{-2}(y^2 - x^2)^{-1/2} + y^{-1}(y(y^2 - x^2)^{-3/2})] = x[\frac{1}{y^2\sqrt{y^2 - x^2}} + \frac{y^2}{y^2(y^2-x^2)^{3/2}}] = x[\frac{y^2 - x^2 + y^2}{y^2(y^2 - x^2)^{3/2}}] = \frac{x(2y^2 - x^2)}{y^2(y^2 - x^2)^{3/2}}$

**問3**

(1) $z_r = \frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta$

$z_\theta = \frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = f_x (-r\sin\theta) + f_y (r\cos\theta) = -rf_x \sin\theta + rf_y \cos\theta$

(2) $z_{r\theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} (\frac{\partial z}{\partial r}) = \frac{\partial}{\partial \theta} (f_x \cos\theta + f_y \sin\theta) = \frac{\partial f_x}{\partial \theta} \cos\theta - f_x\sin\theta + \frac{\partial f_y}{\partial \theta} \sin\theta + f_y \cos\theta$

$\frac{\partial f_x}{\partial \theta} = \frac{\partial f_x}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f_x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = f_{xx} (-r\sin\theta) + f_{xy} (r\cos\theta)$

$\frac{\partial f_y}{\partial \theta} = \frac{\partial f_y}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f_y}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = f_{yx} (-r\sin\theta) + f_{yy} (r\cos\theta)$

$z_{r\theta} = (f_{xx} (-r\sin\theta) + f_{xy} (r\cos\theta))\cos\theta - f_x\sin\theta + (f_{yx} (-r\sin\theta) + f_{yy} (r\cos\theta))\sin\theta + f_y \cos\theta$

$z_{r\theta} = -r f_{xx} \sin\theta \cos\theta + rf_{xy} \cos^2\theta - f_x\sin\theta - rf_{yx} \sin^2\theta + rf_{yy} \sin\theta \cos\theta + f_y \cos\theta$

**問4**

* $f(x, y) = 2x^2 + y^2 - x - y + 10$

(1) $f_x(x, y) = 4x - 1$

$f_y(x, y) = 2y - 1$

$f_x(a, b) = 0 \implies 4a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{4}$

$f_y(a, b) = 0 \implies 2b - 1 = 0 \implies b = \frac{1}{2}$

よって、$(a, b) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$

(2) $f_{xx} = 4$

$f_{yy} = 2$

$f_{xy} = 0$

$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 \cdot 2 - 0^2 = 8 > 0$

$f_{xx} = 4 > 0$ より、$(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ で極小値をとる。

**問5**

* $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

(1) 原点 $(0, 0)$ での連続性

$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ とすると、

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r\cos\theta(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta)}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r\cos\theta(r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta))}{r^2} = r\cos\theta(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r\cos\theta \cos2\theta$

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} r\cos\theta\cos2\theta = 0$

$f(0, 0) = 0$ より、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = f(0, 0)$ となるため、原点 $(0, 0)$ で連続である。

(2) 偏微分の存在

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h(h^2 - 0^2)}{h^2 + 0^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3}{h^3} = 1$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\frac{0(0^2 - k^2)}{0^2 + k^2} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0$

よって、$f_x(0, 0) = 1$, $f_y(0, 0) = 0$ であり、偏微分は存在する。

3. 最終的な答え

* **問1**: $f_x = \frac{1}{x + y}$, $f_y = \frac{1}{x + y}$, $g_x = yx^{y - 1}$, $g_y = x^y \log x$

* **問2**: $f_{xx} = \frac{x}{(y^2 - x^2)^{3/2}}$, $f_{xy} = -\frac{y}{(y^2 - x^2)^{3/2}}$, $f_{yx} = - \frac{y}{(y^2 - x^2)^{3/2}}$, $f_{yy} = \frac{x(2y^2 - x^2)}{y^2(y^2 - x^2)^{3/2}}$

* **問3**: (1) $z_r = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta$, $z_\theta = -rf_x \sin\theta + rf_y \cos\theta$ (2) $z_{r\theta} = -r f_{xx} \sin\theta \cos\theta + rf_{xy} \cos^2\theta - f_x\sin\theta - rf_{yx} \sin^2\theta + rf_{yy} \sin\theta \cos\theta + f_y \cos\theta$

* **問4**: (1) $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ (2) 極小

* **問5**: (1) 連続である (2) $f_x(0, 0) = 1$, $f_y(0, 0) = 0$