与えられた曲線について、指定された傾きを持つ接線の方程式を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x-1}$ (傾き $\frac{1}{4}$) (2) $y = \frac{1}{x+1}$ (傾き $-1$) (3) $y = e^{3x}$ (傾き $3$) (4) $y = \log x$ (傾き $e$)

1. 問題の内容

与えられた曲線について、指定された傾きを持つ接線の方程式を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x-1}$ (傾き $\frac{1}{4}$)

(2) $y = \frac{1}{x+1}$ (傾き $-1$)

(3) $y = e^{3x}$ (傾き $3$)

(4) $y = \log x$ (傾き $e$)

2. 解き方の手順

各曲線について、以下の手順で接線を求めます。

(1) 導関数を計算し、接線の傾きを求めます。

(2) 与えられた傾きと導関数を等しいとおき、接点のx座標を求めます。

(3) 接点のx座標を元の関数に代入し、接点のy座標を求めます。

(4) 接点と傾きから、接線の方程式を求めます。

傾き $m$、点 $(x_0, y_0)$ を通る直線の方程式は、$y - y_0 = m(x - x_0)$ です。

(1) $y = \sqrt{x-1}$

導関数: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

傾きが $\frac{1}{4}$ なので、$\frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{4}$

$2\sqrt{x-1} = 4$

$\sqrt{x-1} = 2$

$x-1 = 4$

$x = 5$

$x=5$ のとき、$y = \sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$

接点は $(5, 2)$

接線の方程式: $y - 2 = \frac{1}{4}(x - 5)$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4} + 2$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

(2) $y = \frac{1}{x+1}$

導関数: $y' = -\frac{1}{(x+1)^2}$

傾きが $-1$ なので、$-\frac{1}{(x+1)^2} = -1$

$(x+1)^2 = 1$

$x+1 = \pm 1$

$x = 0, -2$

$x=0$ のとき、$y = \frac{1}{0+1} = 1$

$x=-2$ のとき、$y = \frac{1}{-2+1} = -1$

接点は $(0, 1)$ と $(-2, -1)$

接線の方程式:

$(0, 1)$ のとき、$y - 1 = -1(x - 0)$ => $y = -x + 1$

$(-2, -1)$ のとき、$y - (-1) = -1(x - (-2))$ => $y + 1 = -x - 2$ => $y = -x - 3$

(3) $y = e^{3x}$

導関数: $y' = 3e^{3x}$

傾きが $3$ なので、$3e^{3x} = 3$

$e^{3x} = 1$

$3x = 0$

$x = 0$

$x=0$ のとき、$y = e^{3(0)} = e^0 = 1$

接点は $(0, 1)$

接線の方程式: $y - 1 = 3(x - 0)$

$y = 3x + 1$

(4) $y = \log x$

導関数: $y' = \frac{1}{x}$

傾きが $e$ なので、$\frac{1}{x} = e$

$x = \frac{1}{e}$

$x = \frac{1}{e}$ のとき、$y = \log \frac{1}{e} = \log e^{-1} = -\log e = -1$

接点は $(\frac{1}{e}, -1)$

接線の方程式: $y - (-1) = e(x - \frac{1}{e})$

$y + 1 = ex - 1$

$y = ex - 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

(2) $y = -x + 1$, $y = -x - 3$

(3) $y = 3x + 1$

(4) $y = ex - 2$