与えられた2つの積分を解く問題です。 (2) $\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (e^{2x} - e^{-x}) dx$ (4) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を解く問題です。

(2) $\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (e^{2x} - e^{-x}) dx$

(4) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

2. 解き方の手順

(2) $\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (e^{2x} - e^{-x}) dx$

$u = e^{2x} + e^{-x}$ と置換します。

すると、$\frac{du}{dx} = 2e^{2x} - e^{-x}$ となります。

したがって、$du = (2e^{2x} - e^{-x}) dx$ です。

元の積分は $\int u^4 (e^{2x} - e^{-x}) dx = \int u^4 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^4 du$

積分を実行すると $\frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{10} + C$ となります。

$u$ を元に戻すと $\frac{(e^{2x} + e^{-x})^5}{10} + C$ となります。

(4) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

$u = \log x$ と置換します。

すると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、$du = \frac{1}{x} dx$ です。

元の積分は $\int \frac{1}{x u} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du$

積分を実行すると $\log |u| + C$ となります。

$u$ を元に戻すと $\log |\log x| + C$ となります。

3. 最終的な答え

(2) $\frac{(e^{2x} + e^{-x})^5}{10} + C$

(4) $\log |\log x| + C$