問題11-1：関数 $f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。 問題11-2：関数 $z = 2x^2 - y^2$ のグラフの点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める。 問題11-3：$R^2$ 上の $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、その積 $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級になることを示す。

1. 問題の内容

問題11-1：関数 $f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。

問題11-2：関数 $z = 2x^2 - y^2$ のグラフの点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める。

問題11-3：$R^2$ 上の $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、その積 $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級になることを示す。

2. 解き方の手順

**問題11-1**

$f(x, y) = x^2y$ の偏導関数を求める。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

$g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。

$\frac{\partial g}{\partial x} = e^x + (x+y)e^x = (x+y+1)e^x$

$\frac{\partial g}{\partial y} = e^x$

**問題11-2**

$z = 2x^2 - y^2$ を $F(x, y, z) = 2x^2 - y^2 - z = 0$ とおく。

接平面の法線ベクトルは $\nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$ で与えられる。

$\frac{\partial F}{\partial x} = 4x$

$\frac{\partial F}{\partial y} = -2y$

$\frac{\partial F}{\partial z} = -1$

点 $(1, 1, 1)$ における法線ベクトルは $\nabla F(1, 1, 1) = (4, -2, -1)$。

したがって、接平面の方程式は $4(x-1) - 2(y-1) - (z-1) = 0$。

$4x - 4 - 2y + 2 - z + 1 = 0$

$4x - 2y - z - 1 = 0$

$4x - 2y - z = 1$

**問題11-3**

$F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級であることを示す。

$F(x, y)$ が $C^1$ 級であるためには、偏導関数 $\frac{\partial F}{\partial x}$ と $\frac{\partial F}{\partial y}$ が存在し、かつ連続である必要がある。

積の微分公式より、

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} g(x, y) + f(x, y) \frac{\partial g}{\partial x}$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} g(x, y) + f(x, y) \frac{\partial g}{\partial y}$

$f(x, y)$ と $g(x, y)$ は $C^1$ 級なので、$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial g}{\partial x}$, $\frac{\partial g}{\partial y}$ は全て連続である。

したがって、$\frac{\partial F}{\partial x}$ と $\frac{\partial F}{\partial y}$ は連続な関数の和と積で表されるため、連続である。

よって、$F(x, y)$ は $C^1$ 級である。

3. 最終的な答え

問題11-1：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$, $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

$\frac{\partial g}{\partial x} = (x+y+1)e^x$, $\frac{\partial g}{\partial y} = e^x$

問題11-2：

$4x - 2y - z = 1$

問題11-3：

$F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ は $C^1$ 級である（証明は上記参照）。