(1) 2次式 $a^2 - 8a + 12$ を因数分解せよ。 (2) 2次不等式 $x^2 + ax + 2a - 3 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次式 $a^2 - 8a + 12$ を因数分解せよ。

(2) 2次不等式 $x^2 + ax + 2a - 3 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a^2 - 8a + 12$ を因数分解します。

和が $-8$、積が $12$ になる2つの数を見つけます。

$-6$ と $-2$ が条件を満たすので、

$a^2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2)$

(2)

2次不等式 $x^2 + ax + 2a - 3 > 0$ の解がすべての実数であるためには、2次関数 $y = x^2 + ax + 2a - 3$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。

これは、2次方程式 $x^2 + ax + 2a - 3 = 0$ が実数解を持たないこと、つまり判別式 $D$ が負であることと同値です。

判別式 $D$ は $D = a^2 - 4(1)(2a - 3) = a^2 - 8a + 12$ です。

$D < 0$ を解くと、

$a^2 - 8a + 12 < 0$

$(a - 6)(a - 2) < 0$

$2 < a < 6$

3. 最終的な答え

(1) $(a - 6)(a - 2)$

(2) $2 < a < 6$