与えられた対数方程式 $\frac{1}{2}\log(x+2) - \log x = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\frac{1}{2}\log(x+2) - \log x = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、方程式を整理します。

$\frac{1}{2}\log(x+2) = \log x$

次に、対数の性質 $\log a^b = b \log a$ を利用して、左辺を変形します。

$\log(x+2)^{\frac{1}{2}} = \log x$

$\log \sqrt{x+2} = \log x$

対数の底を考えると、$\sqrt{x+2} = x$が成り立ちます。

両辺を2乗します。

$x+2 = x^2$

この2次方程式を解きます。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2$ または $x = -1$

ここで、対数関数 $\log x$ の真数条件 $x > 0$ と $\log(x+2)$ の真数条件 $x+2>0$ すなわち $x>-2$ を満たす必要があります。

$x = 2$ は $x > 0$ および $x > -2$ を満たします。

$x = -1$ は $x > 0$ を満たさないため、不適です。

したがって、$x=2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 2$