定積分 $\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx$ を計算します。解析学定積分置換積分三角関数2025/6/301. 問題の内容定積分 ∫031(3+x2)2dx\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx∫03(3+x2)21dx を計算します。2. 解き方の手順まず、x=3tanθx = \sqrt{3}\tan{\theta}x=3tanθ と置換します。このとき、dx=3sec2θdθdx = \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\thetadx=3sec2θdθ となります。積分範囲も変更します。x=0x=0x=0 のとき、tanθ=0\tan{\theta} = 0tanθ=0 より θ=0\theta = 0θ=0 です。x=3x=3x=3 のとき、tanθ=3\tan{\theta} = \sqrt{3}tanθ=3 より θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}θ=3π です。したがって、積分は次のようになります。∫031(3+x2)2dx=∫0π31(3+3tan2θ)23sec2θdθ\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(3+3\tan^2{\theta})^2} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta∫03(3+x2)21dx=∫03π(3+3tan2θ)213sec2θdθ=∫0π31(3(1+tan2θ))23sec2θdθ= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(3(1+\tan^2{\theta}))^2} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta=∫03π(3(1+tan2θ))213sec2θdθ=∫0π319sec4θ3sec2θdθ= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{9\sec^4{\theta}} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta=∫03π9sec4θ13sec2θdθ=39∫0π31sec2θdθ= \frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sec^2{\theta}} d\theta=93∫03πsec2θ1dθ=39∫0π3cos2θdθ= \frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2{\theta} d\theta=93∫03πcos2θdθcos2θ=1+cos2θ2\cos^2{\theta} = \frac{1+\cos{2\theta}}{2}cos2θ=21+cos2θ を用いると、39∫0π31+cos2θ2dθ=318∫0π3(1+cos2θ)dθ\frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{18} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos{2\theta}) d\theta93∫03π21+cos2θdθ=183∫03π(1+cos2θ)dθ=318[θ+12sin2θ]0π3= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin{2\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}=183[θ+21sin2θ]03π=318[π3+12sin2π3−(0+12sin0)]= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{3}} - (0 + \frac{1}{2}\sin{0}) \right]=183[3π+21sin32π−(0+21sin0)]=318[π3+1232]= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \right]=183[3π+2123]=318[π3+34]= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right]=183[3π+43]=318(4π+3312)= \frac{\sqrt{3}}{18} \left( \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{12} \right)=183(124π+33)=4π3+9216= \frac{4\pi\sqrt{3} + 9}{216}=2164π3+93. 最終的な答え4π3+9216\frac{4\pi\sqrt{3} + 9}{216}2164π3+9あるいはπ354+124\frac{\pi \sqrt{3}}{54} + \frac{1}{24}54π3+241