定積分 $\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx$ を計算します。

解析学定積分置換積分三角関数
2025/6/30

1. 問題の内容

定積分 031(3+x2)2dx\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、x=3tanθx = \sqrt{3}\tan{\theta} と置換します。
このとき、dx=3sec2θdθdx = \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta となります。
積分範囲も変更します。
x=0x=0 のとき、tanθ=0\tan{\theta} = 0 より θ=0\theta = 0 です。
x=3x=3 のとき、tanθ=3\tan{\theta} = \sqrt{3} より θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} です。
したがって、積分は次のようになります。
031(3+x2)2dx=0π31(3+3tan2θ)23sec2θdθ\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(3+3\tan^2{\theta})^2} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta
=0π31(3(1+tan2θ))23sec2θdθ= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(3(1+\tan^2{\theta}))^2} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta
=0π319sec4θ3sec2θdθ= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{9\sec^4{\theta}} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta
=390π31sec2θdθ= \frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sec^2{\theta}} d\theta
=390π3cos2θdθ= \frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2{\theta} d\theta
cos2θ=1+cos2θ2\cos^2{\theta} = \frac{1+\cos{2\theta}}{2} を用いると、
390π31+cos2θ2dθ=3180π3(1+cos2θ)dθ\frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{18} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos{2\theta}) d\theta
=318[θ+12sin2θ]0π3= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin{2\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}
=318[π3+12sin2π3(0+12sin0)]= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{3}} - (0 + \frac{1}{2}\sin{0}) \right]
=318[π3+1232]= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \right]
=318[π3+34]= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right]
=318(4π+3312)= \frac{\sqrt{3}}{18} \left( \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{12} \right)
=4π3+9216= \frac{4\pi\sqrt{3} + 9}{216}

3. 最終的な答え

4π3+9216\frac{4\pi\sqrt{3} + 9}{216}
あるいは
π354+124\frac{\pi \sqrt{3}}{54} + \frac{1}{24}

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