定積分 $\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{3}\tan{\theta}$ と置換します。

このとき、$dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta$ となります。

積分範囲も変更します。

$x=0$ のとき、$\tan{\theta} = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x=3$ のとき、$\tan{\theta} = \sqrt{3}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{3} \frac{1}{(3+x^2)^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(3+3\tan^2{\theta})^2} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(3(1+\tan^2{\theta}))^2} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{9\sec^4{\theta}} \sqrt{3}\sec^2{\theta} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sec^2{\theta}} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2{\theta} d\theta$

$\cos^2{\theta} = \frac{1+\cos{2\theta}}{2}$ を用いると、

$\frac{\sqrt{3}}{9} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{18} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos{2\theta}) d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin{2\theta} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin{\frac{2\pi}{3}} - (0 + \frac{1}{2}\sin{0}) \right]$

$= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \right]$

$= \frac{\sqrt{3}}{18} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right]$

$= \frac{\sqrt{3}}{18} \left( \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{12} \right)$

$= \frac{4\pi\sqrt{3} + 9}{216}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\pi\sqrt{3} + 9}{216}$

あるいは

$\frac{\pi \sqrt{3}}{54} + \frac{1}{24}$