数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n$ で定められているとき、一般項$a_n = \frac{\text{ア}}{\text{イ}}n^2 - \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}n + \text{オ}$ の $\text{ア}$, $\text{イ}$, $\text{ウ}$, $\text{エ}$, $\text{オ}$ に当てはまる数字を求める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n$ で定められているとき、一般項$a_n = \frac{\text{ア}}{\text{イ}}n^2 - \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}n + \text{オ}$ の $\text{ア}$, $\text{イ}$, $\text{ウ}$, $\text{エ}$, $\text{オ}$ に当てはまる数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = 3n$

したがって、数列$\{a_n\}$の階差数列は$\{3n\}$です。$n \ge 2$のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 1$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{3}{2}(1) + 1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 1$ となり、$a_1 = 1$を満たします。

したがって、$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 1$.

問題文の形に合わせるため、$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 2

ウ: 3

エ: 2

オ: 1