与えられた漸化式から一般項 $a_n$ を求める問題です。 (1) $a_1 = 7$, $a_{n+1} = 8a_n - 14$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -3a_n - 4$

1. 問題の内容

与えられた漸化式から一般項 $a_n$ を求める問題です。

(1) $a_1 = 7$, $a_{n+1} = 8a_n - 14$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -3a_n - 4$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+1} = 8a_n - 14$ を特性方程式を用いて解きます。

特性方程式は $x = 8x - 14$ となり、$7x = 14$ より $x = 2$ が得られます。

したがって、$a_{n+1} - 2 = 8(a_n - 2)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 8b_n$ となり、$b_1 = a_1 - 2 = 7 - 2 = 5$ より、数列 $\{b_n\}$ は初項5、公比8の等比数列です。

よって、$b_n = 5 \cdot 8^{n-1}$ となり、$a_n = b_n + 2 = 5 \cdot 8^{n-1} + 2$ となります。

(2)

漸化式 $a_{n+1} = -3a_n - 4$ を特性方程式を用いて解きます。

特性方程式は $x = -3x - 4$ となり、$4x = -4$ より $x = -1$ が得られます。

したがって、$a_{n+1} + 1 = -3(a_n + 1)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = -3b_n$ となり、$b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ より、数列 $\{b_n\}$ は初項2、公比-3の等比数列です。

よって、$b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$ となり、$a_n = b_n - 1 = 2 \cdot (-3)^{n-1} - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 5

イ: 8

ウ: 2

(2)

ア: 2

イ: -3

ウ: 1