まず、(2k+1)(2k+3)2k+5 を部分分数分解します。 (2k+1)(2k+3)2k+5=2k+1A+2k+3B 両辺に (2k+1)(2k+3) をかけると、 2k+5=A(2k+3)+B(2k+1) k=−21 を代入すると、 2(−21)+5=A(2)+0⟹4=2A⟹A=2 k=−23 を代入すると、 2(−23)+5=0+B(−2)⟹2=−2B⟹B=−1 よって、
(2k+1)(2k+3)2k+5=2k+12−2k+31 次に、(21)k+2=41(21)k であるから、数列の一般項は 41(2k+12−2k+31)(21)k=212k+11(21)k−412k+31(21)k これを数列の和に代入すると、
∑k=1n(2k+1)(2k+3)2k+5(21)k+2=41∑k=1n(2k+12−2k+31)(21)k=∑k=1n21⋅2k+11(21)k−41⋅2k+31(21)k この和はtelescoping sumではないようです. 代わりに部分分数分解せずに計算します。
∑k=1n(2k+1)(2k+3)2k+5(21)k+2=∑k=1n(2k+12−2k+31)(21)k+2 =∑k=1n2k+12(21)k+2−∑k=1n2k+31(21)k+2 =∑k=1n2k+11(21)k+1−∑k=1n2k+31(21)k+2 =31(21)2+51(21)3+...+2n+11(21)n+1−[51(21)3+71(21)4+...+2n+31(21)n+2] =31(21)2−2n+31(21)n+2 =121−(2n+3)2n+21