与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left( \frac{1}{2} \right)^{k+2}$ を、$n$ を用いた簡単な式で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left( \frac{1}{2} \right)^{k+2}$ を、$n$ を用いた簡単な式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)}$ を部分分数分解します。

$\frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$

両辺に $(2k+1)(2k+3)$ をかけると、

$2k+5 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、 $2(-\frac{1}{2}) + 5 = A(2) + 0 \implies 4 = 2A \implies A = 2$

$k = -\frac{3}{2}$ を代入すると、 $2(-\frac{3}{2}) + 5 = 0 + B(-2) \implies 2 = -2B \implies B = -1$

よって、

$\frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}$

次に、$\left( \frac{1}{2} \right)^{k+2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^k$ であるから、数列の一般項は

$\frac{1}{4} \left( \frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^k = \frac{1}{2} \frac{1}{2k+1} \left( \frac{1}{2} \right)^k - \frac{1}{4} \frac{1}{2k+3} \left( \frac{1}{2} \right)^k$

これを数列の和に代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left( \frac{1}{2} \right)^{k+2} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2k+1} \left(\frac{1}{2} \right)^k - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2k+3} \left(\frac{1}{2} \right)^k$

この和はtelescoping sumではないようです. 代わりに部分分数分解せずに計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}$

$= \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2k+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+3} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}$

$= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+3} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + ... + \frac{1}{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - \left[ \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^4 + ... + \frac{1}{2n+3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2} \right]$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2n+3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}$

$= \frac{1}{12} - \frac{1}{(2n+3)2^{n+2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12} - \frac{1}{(2n+3)2^{n+2}}$