与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left( \frac{1}{2} \right)^{k+2}$ を、$n$ を用いた簡単な式で表す問題です。

解析学数列級数部分分数分解telescoping sum
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた数列の和 k=1n2k+5(2k+1)(2k+3)(12)k+2\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left( \frac{1}{2} \right)^{k+2} を、nn を用いた簡単な式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、2k+5(2k+1)(2k+3)\frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} を部分分数分解します。
2k+5(2k+1)(2k+3)=A2k+1+B2k+3\frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}
両辺に (2k+1)(2k+3)(2k+1)(2k+3) をかけると、
2k+5=A(2k+3)+B(2k+1)2k+5 = A(2k+3) + B(2k+1)
k=12k = -\frac{1}{2} を代入すると、 2(12)+5=A(2)+0    4=2A    A=22(-\frac{1}{2}) + 5 = A(2) + 0 \implies 4 = 2A \implies A = 2
k=32k = -\frac{3}{2} を代入すると、 2(32)+5=0+B(2)    2=2B    B=12(-\frac{3}{2}) + 5 = 0 + B(-2) \implies 2 = -2B \implies B = -1
よって、
2k+5(2k+1)(2k+3)=22k+112k+3\frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}
次に、(12)k+2=14(12)k\left( \frac{1}{2} \right)^{k+2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^k であるから、数列の一般項は
14(22k+112k+3)(12)k=1212k+1(12)k1412k+3(12)k\frac{1}{4} \left( \frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^k = \frac{1}{2} \frac{1}{2k+1} \left( \frac{1}{2} \right)^k - \frac{1}{4} \frac{1}{2k+3} \left( \frac{1}{2} \right)^k
これを数列の和に代入すると、
k=1n2k+5(2k+1)(2k+3)(12)k+2=14k=1n(22k+112k+3)(12)k=k=1n1212k+1(12)k1412k+3(12)k\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left( \frac{1}{2} \right)^{k+2} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2k+1} \left(\frac{1}{2} \right)^k - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2k+3} \left(\frac{1}{2} \right)^k
この和はtelescoping sumではないようです. 代わりに部分分数分解せずに計算します。
k=1n2k+5(2k+1)(2k+3)(12)k+2=k=1n(22k+112k+3)(12)k+2\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{2}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right) \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}
=k=1n22k+1(12)k+2k=1n12k+3(12)k+2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2k+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+3} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}
=k=1n12k+1(12)k+1k=1n12k+3(12)k+2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+3} \left(\frac{1}{2}\right)^{k+2}
=13(12)2+15(12)3+...+12n+1(12)n+1[15(12)3+17(12)4+...+12n+3(12)n+2] = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + ... + \frac{1}{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - \left[ \frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^4 + ... + \frac{1}{2n+3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2} \right]
=13(12)212n+3(12)n+2 = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2n+3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}
=1121(2n+3)2n+2 = \frac{1}{12} - \frac{1}{(2n+3)2^{n+2}}

3. 最終的な答え

1121(2n+3)2n+2\frac{1}{12} - \frac{1}{(2n+3)2^{n+2}}

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