与えられた対数方程式 $\log_3(2x-1) + \log_3(2x+1) = 3$ を解いて、$x$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_3(2x-1) + \log_3(2x+1) = 3$ を解いて、$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、対数の和の公式を使って左辺をまとめます。$\log_a(M) + \log_a(N) = \log_a(MN)$より、

$\log_3(2x-1) + \log_3(2x+1) = \log_3((2x-1)(2x+1))$

したがって、与えられた方程式は

$\log_3((2x-1)(2x+1)) = 3$

となります。

ここで、対数の定義より、$a^{\log_a(x)} = x$を利用して、

$(2x-1)(2x+1) = 3^3$

と書き換えることができます。左辺を展開すると、

$4x^2 - 1 = 27$

$4x^2 = 28$

$x^2 = 7$

$x = \pm\sqrt{7}$

ここで、元の対数方程式の真数条件より、$2x-1>0$かつ$2x+1>0$でなければなりません。すなわち、$x>\frac{1}{2}$かつ$x>-\frac{1}{2}$が必要なので、$x>\frac{1}{2}$である必要があります。

$x = \sqrt{7}$のとき、$x \approx 2.65 > \frac{1}{2}$を満たします。

$x = -\sqrt{7}$のとき、$x \approx -2.65 < \frac{1}{2}$を満たしません。

したがって、$x = \sqrt{7}$のみが解となります。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{7}$