生徒会役員（会長、副会長、議長）を選出する選挙があり、全体の投票数は240票です。 (1) 会長に選ばれるために必要な得票数、 (2) 会長、副会長、議長のいずれかに選ばれるために必要な得票数 をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

生徒会役員（会長、副会長、議長）を選出する選挙があり、全体の投票数は240票です。

(1) 会長に選ばれるために必要な得票数、

(2) 会長、副会長、議長のいずれかに選ばれるために必要な得票数

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 会長になるためには、他の候補者よりも多くの票を得る必要があります。最も少ない得票数で会長になるには、自分以外のすべての候補者の得票数が同じで、自分の得票数がその数よりも1多い必要があります。仮に候補者が自分を含めてn人いるとすると、自分以外のn-1人の候補者の票がなるべく均等に分かれるように考えます。ただし、ここでは具体的な候補者数が不明なので、得票数だけで考える必要があります。過半数よりも1票多い票数を獲得すれば確実に当選します。

全体の投票数は240票なので、過半数は $240 / 2 = 120$ 票です。したがって、120票に1票を加えた121票を獲得すれば確実に会長になることができます。

(2) 会長、副会長、議長のいずれかになるためには、上位3位以内に入る必要があります。 最も少ない得票数で上位3位以内に入るためには、自分以外のすべての候補者の得票数が同じで、4位以下の候補者の得票数よりも1票多い必要があります。ここでは、上位3人が当選することを考慮して考えます。上位3人に入るためには、下位の票をできるだけ少なくし、自分よりも上位の2人の票がなるべく多くなるように配分します。

仮に3人が同数だったとすると、 $240 / 3 = 80$票になります。

3人が同数で並んだ際に、4人目が80票だと上位３人に入れなくなってしまうので、4人目以降の票数はできるだけ少なくする必要があります。

下位の人が0票だとして、上位3人が同数で並んだ時を考えてみます。

この場合、3人の合計が240票になればよく、$240 / 3 = 80$ となるので、81票以上獲得すれば必ず上位3位以内に入れます。

3. 最終的な答え

(1) 会長：121票

(2) 会長、副会長、議長のうち、いずれかの役員：81票