与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和を2つの和に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k = 2\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k - \sum_{k=1}^{n} 3^k$

第2項は等比数列の和であり、容易に計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3}{2}(3^n - 1)$

第1項 $\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k$ を $S$ とおきます。

$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k = 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^n$

この $S$ を用いて $3S$ を計算します。

$3S = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^4 + \dots + (n-1) \cdot 3^n + n \cdot 3^{n+1}$

$S - 3S$ を計算します。

$-2S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n - n \cdot 3^{n+1}$

$= \sum_{k=1}^{n} 3^k - n \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{2}(3^n - 1) - n \cdot 3^{n+1}$

$-2S = \frac{3}{2}(3^n - 1) - n \cdot 3^{n+1}$

$S = -\frac{3}{4}(3^n - 1) + \frac{n}{2} \cdot 3^{n+1} = \frac{3}{4}(-3^n + 1 + 2n \cdot 3^n \cdot 3) = \frac{3}{4}(6n \cdot 3^n - 3^n + 1) = \frac{3}{4}((6n-1)3^n + 1)$

$S = \frac{3(6n-1)3^n+3}{4}$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k = 2S - \frac{3}{2}(3^n - 1) = 2 \cdot \frac{3}{4}((6n-1)3^n + 1) - \frac{3}{2}(3^n - 1)$

$= \frac{3}{2}((6n-1)3^n + 1) - \frac{3}{2}(3^n - 1) = \frac{3}{2}(6n \cdot 3^n - 3^n + 1 - 3^n + 1)$

$= \frac{3}{2}(6n \cdot 3^n - 2 \cdot 3^n + 2) = 3(3n \cdot 3^n - 3^n + 1) = 3(3n-1)3^n+3$

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) \cdot 3^k = (3n-1)3^{n+1}+3$

3. 最終的な答え

$(3n-1)3^{n+1}+3$