$n$ を自然数とするとき、$y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。解析学微分導関数数学的帰納法指数関数2025/7/301. 問題の内容nnn を自然数とするとき、y=(x−1)exy = (x-1)e^xy=(x−1)ex の第 nnn 次導関数を求めよ。2. 解き方の手順まず、yyy を何回か微分して規則性を見つける。y=(x−1)exy = (x-1)e^xy=(x−1)exy′=ex+(x−1)ex=xexy' = e^x + (x-1)e^x = xe^xy′=ex+(x−1)ex=xexy′′=ex+xex=(x+1)exy'' = e^x + xe^x = (x+1)e^xy′′=ex+xex=(x+1)exy′′′=ex+(x+1)ex=(x+2)exy''' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^xy′′′=ex+(x+1)ex=(x+2)exy(n)y^{(n)}y(n) の形を予想する。y(n)=(x+n−1)exy^{(n)} = (x+n-1)e^xy(n)=(x+n−1)ex数学的帰納法で証明する。(1) n=1n=1n=1 のときy′=xexy' = xe^xy′=xex なので、y(1)=(x+1−1)ex=xexy^{(1)} = (x+1-1)e^x = xe^xy(1)=(x+1−1)ex=xex となり成立する。(2) n=kn=kn=k のとき、y(k)=(x+k−1)exy^{(k)} = (x+k-1)e^xy(k)=(x+k−1)ex が成立すると仮定する。n=k+1n=k+1n=k+1 のとき、y(k+1)=(y(k))′y^{(k+1)} = (y^{(k)})'y(k+1)=(y(k))′ を計算する。y(k+1)=((x+k−1)ex)′=ex+(x+k−1)ex=(x+k)exy^{(k+1)} = ((x+k-1)e^x)' = e^x + (x+k-1)e^x = (x+k)e^xy(k+1)=((x+k−1)ex)′=ex+(x+k−1)ex=(x+k)exy(k+1)=(x+(k+1)−1)exy^{(k+1)} = (x+(k+1)-1)e^xy(k+1)=(x+(k+1)−1)ex となり、n=k+1n=k+1n=k+1 のときも成立する。よって、数学的帰納法により、y(n)=(x+n−1)exy^{(n)} = (x+n-1)e^xy(n)=(x+n−1)ex が成り立つ。3. 最終的な答え(x+n−1)ex(x+n-1)e^x(x+n−1)ex