$n$ を自然数とするとき、$y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

解析学微分導関数数学的帰納法指数関数
2025/7/30

1. 問題の内容

nn を自然数とするとき、y=(x1)exy = (x-1)e^x の第 nn 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、yy を何回か微分して規則性を見つける。
y=(x1)exy = (x-1)e^x
y=ex+(x1)ex=xexy' = e^x + (x-1)e^x = xe^x
y=ex+xex=(x+1)exy'' = e^x + xe^x = (x+1)e^x
y=ex+(x+1)ex=(x+2)exy''' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x
y(n)y^{(n)} の形を予想する。
y(n)=(x+n1)exy^{(n)} = (x+n-1)e^x
数学的帰納法で証明する。
(1) n=1n=1 のとき
y=xexy' = xe^x なので、y(1)=(x+11)ex=xexy^{(1)} = (x+1-1)e^x = xe^x となり成立する。
(2) n=kn=k のとき、y(k)=(x+k1)exy^{(k)} = (x+k-1)e^x が成立すると仮定する。
n=k+1n=k+1 のとき、y(k+1)=(y(k))y^{(k+1)} = (y^{(k)})' を計算する。
y(k+1)=((x+k1)ex)=ex+(x+k1)ex=(x+k)exy^{(k+1)} = ((x+k-1)e^x)' = e^x + (x+k-1)e^x = (x+k)e^x
y(k+1)=(x+(k+1)1)exy^{(k+1)} = (x+(k+1)-1)e^x となり、n=k+1n=k+1 のときも成立する。
よって、数学的帰納法により、y(n)=(x+n1)exy^{(n)} = (x+n-1)e^x が成り立つ。

3. 最終的な答え

(x+n1)ex(x+n-1)e^x

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