関数 $y=xe^x$ の3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y=xe^x$ の3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1次導関数 $y'$ を求めます。積の微分法を用いると、

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

次に、2次導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = (y')' = ((x+1)e^x)' = (x+1)'e^x + (x+1)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x+1)e^x = e^x + xe^x + e^x = (x+2)e^x$

最後に、3次導関数 $y^{(3)}$ を求めます。

$y^{(3)} = (y'')' = ((x+2)e^x)' = (x+2)'e^x + (x+2)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x+2)e^x = e^x + xe^x + 2e^x = (x+3)e^x$

3. 最終的な答え

$y^{(3)} = (x+3)e^x$